【翻译】社会选择理论

来源： Stanford Encyclopedia of Philosophy - Social Choice Theory

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社会选择理论是对集体决策程序和机制的研究。它并不是一个单一的理论，而是一组模型和结果，这些模型和结果涉及到如何将个体输入（例如，投票、偏好、判断、福利）聚合成集体输出（例如，集体决策、偏好、判断、福利）。核心问题包括：一个由多个个体组成的群体如何从给定的选项中选择一个获胜的结果（例如，政策、选举候选人）？不同的投票系统有哪些特性？何时的投票系统算是民主的？一个集体（例如，选民群体、立法机关、专业法庭、专家小组或委员会）如何基于其成员的个体偏好或判断，就某些问题形成连贯的集体偏好或判断？我们如何按照社会福利的顺序对不同的社会替代方案进行排名？社会选择理论家不仅通过查看示例来研究这些问题，还通过开发通用模型和证明定理进行研究。

社会选择理论的研究始于18世纪，由尼古拉·德·孔多塞和让-查尔斯·德·博尔达开创，19世纪由查尔斯·道奇森（也被称为刘易斯·卡罗）进一步发展。到了20世纪，肯尼斯·阿罗、阿玛蒂亚·森和邓肯·布莱克的研究使得社会选择理论得到了广泛的发展。它的影响力遍及经济学、政治学、哲学、数学，最近还扩展到计算机科学和生物学。除了有助于我们理解集体决策程序，社会选择理论还在机构设计、福利经济学和社会认识论等领域有应用。

1. 社会选择理论的历史

1.1 孔多塞

与社会选择理论的发展最常联系在一起的两位学者是法国人尼古拉·德·孔多塞（1743-1794）和美国人肯尼斯·阿罗（1921-1794）。孔多塞是法国大革命时期的自由思想家，因批评革命当局而被追捕。在一段时间的躲藏后，他最终被逮捕，尽管显然并未立即被确认身份，他在狱中去世（见 McLean 和 Hewitt 1994）。在他的《论分析应用于多数决定的概率》（1785）一文中，他倡导了一种特殊的投票制度，即两两多数投票，并提出了他的两个最突出的见解。第一个，被称为孔多塞的陪审团定理，是指如果一个陪审团的每个成员都有一个独立并且优于随机但不及完美的机会来判断被告是否有罪（或者对其他事实命题进行判断），那么陪审团的多数人更可能做出正确的判断，而且随着陪审团人数的增加，多数人的判断正确的概率接近1。因此，在某些理想化的条件下，多数规则很擅长”追踪真相”（例如，Grofman、Owen 和 Feld 1983）。

孔多塞的第二个洞察，通常被称为孔多塞悖论，是观察到即使个体偏好是”理性的”（具体来说，是传递的），多数人的偏好也可能是”非理性的”（具体来说，是非传递的）。假设，例如，一个团体中的三分之一人更喜欢选项\(x\)而非\(y\)或\(z\)，第二个三分之一的人更喜欢\(y\)而非\(z\)或\(x\)，最后三分之一的人更喜欢\(z\)而非\(x\)或\(y\)。那么，有三分之二的多数人选择了\(x\)而非\(y\)，选择了\(y\)而非\(z\)，以及选择了\(z\)而非\(x\)：这是一个”循环”，违反了传递性。此外，没有一个替代方案是孔多塞胜者，即在两两多数决赛中击败或至少与其他所有替代方案打平的方案。

孔多塞预见到了现代社会选择理论的一个关键主题：少数服从多数则既是一种合理的集体决策方法，又面临一些令人惊讶的问题。解决或避开这些问题仍然是社会选择理论的核心关注点。

1.2 阿罗及其影响

虽然孔多塞研究了一种特定的投票方法（多数投票），但阿罗，1972年诺贝尔经济学奖获得者，引入了一种研究偏好聚合的通用方法，部分灵感来自他的逻辑老师阿尔弗雷德·塔尔斯基（1901-1983），他在纽约市立学院本科期间向塔尔斯基学习了关系理论（Suppes 2005）。阿罗考虑了一类可能的聚合方法，他称之为社会福利函数，并询问哪些满足某些公理或期望。他证明，令人惊讶的是，不存在一种方法可以将两个或更多个人对三个或更多替代方案的偏好聚合成集体偏好，这种方法满足下面讨论的五个看似合理的公理。

这个结果被称为阿罗不可能性定理，它引发了社会选择理论和福利经济学中的大量工作和许多辩论。威廉·瑞克（1920-1993），他启发了罗切斯特学派在政治科学中的思想，将其解释为无法实现民粹主义民主的数学证明（例如，瑞克1982）。其他人，尤其是1998年诺贝尔经济学奖得主阿马蒂亚·森（1933年出生），认为这表明序数偏好不足以做出满意的社会选择，社会决策需要更丰富的信息基础。评论者也质疑阿罗对聚合方法的期望是否如其所称那样无害，或者是否应该放宽他们。

从阿罗定理中得到的教训部分取决于我们如何解释阿罗式的社会福利函数。如果我们将聚合规则解释为投票方法，而不是将其解释为社会评价方法，那么使用序数偏好作为”被聚合物”可能更容易证明其合理性。森认为，当一个社会规划者试图将不同的社会替代方案按照社会期望的顺序进行排名（从而使用某种聚合规则作为社会评估方法）时，使用超越序数偏好的额外信息可能是合理甚至必要的，例如可以在人与人之间进行比较的福利测量（例如，森1982）或关于人们实现有价值功能的能力的信息（例如，森1992）。

阿罗自己持有这样的观点：

“个体之间的效用比较没有意义……并且在衡量个体效用方面没有对福利比较相关的意义。”（1951/1963：9）

阿罗的这种观点受到新古典经济学的影响，这是与像维尔弗雷多·帕雷托（1848-1923）、利奥内尔·罗宾斯（1898-1984）、约翰·希克斯（1904-1989，与阿罗共同获得经济学诺贝尔奖）和保罗·萨缪尔森（1915-2009，另一位诺贝尔奖得主）等学者有关的。阿罗的定理展示了新古典思想的”序数主义”假设的严重影响。关于福利经济学的这种限制性序数主义方法的批评，也可以参见鈴村興太郎（1944-2020）的工作（例如，鈴村 2000）。

如今，大多数社会选择理论家已经超越了对阿罗定理的消极解读，他们对寻找满意的决策程序所涉及的权衡以及放宽某些限制性假设所带来的可能性感兴趣。森已经推动了这种对社会选择理论的”可能性主义”解释（例如，在他的1998年诺贝尔演讲中）。此外，正如法比安·皮特（Fabienne Peter）所论述的，通过超越导致经典不可能性结果的狭窄信息基础，社会选择理论可以成为政策评估的更有前景的框架，并提供资源来考虑人们行为的情境性、他们之间的不平等以及性别问题（皮特 2003）。

在当代的社会选择理论中，或许可以公正地说，阿罗的公理化方法比他的不可能性定理本身更具影响力（关于公理化方法，参见Thomson 2000）。在形式工作中，典型的结果现在是”特征定理”。这里的目标是确定一组看似合理的必要和充分条件，它们唯一地描述了对于给定类型的集体决策问题的特定解决方案（或解决方案类别）。一个早期的例子是肯尼思·梅（Kenneth May）（1952）对多数规则的描述，下面将进行讨论。

1.3 博尔达、卡罗尔、布莱克等人

孔多塞和阿罗并不是社会选择理论的唯一创始人。孔多塞的同时代人和同胞让-查尔斯·德·博尔达（Jean-Charles de Borda）（1733-1799）维护了一个投票系统，该系统通常被视为多数投票的显著替代品。博尔达计数法，后来被正式定义，避免了孔多塞的悖论，但违反了阿罗的条件之一，即无关选择的独立性。因此，孔多塞和博尔达之间的辩论是如何回应阿罗定理的一些现代辩论的前驱。

这场辩论的起源早于孔多塞和博尔达。在中世纪，拉蒙·吕尔（Ramon Llull）（约1235-1315）提出了成对多数投票的聚合方法，而尼古拉斯·库萨纳斯（Nicolas Cusanus）（1401-1464）提出了博尔达计数法的一种变体（McLean 1990）。在1672年，德国学者和法学家塞缪尔·冯·普福芬道夫（Samuel von Pufendorf）（1632-1694）比较了简单多数、有资格的多数和一致性规则，并提出了一种可以看作是后来发现（例如，关于单峰性，下面讨论）的前驱的偏好结构的分析（Gaertner 2005）。

在19世纪，英国数学家和神职人员查尔斯·道奇森（Charles Dodgson）（1832-1898），更为人所知的名字是路易斯·卡罗尔，独立地重新发现了一些孔多塞和博尔达的见解，并开发了一种比例代表制的理论。很大程度上要归功于苏格兰经济学家邓肯·布莱克（Duncan Black）（1908-1991），他将孔多塞，博尔达和道奇森的社会选择理论的想法引入了现代研究社区的注意力（McLean, McMillan, and Monroe 1995）。布莱克还进行了一些与多数投票相关的发现，其中一些将在下面讨论。

在法国，乔治-特奥杜勒·吉尔布劳德（George-Théodule Guilbaud）([1952] 1966)写了一篇重要但常常被忽视的论文，从逻辑的角度重新审视了康多塞的投票理论，并引发了关于孔多塞效应（Condorcet effect）的法文文献，康多塞效应是康多塞悖论背后的逻辑问题，只有在最近的英语社会选择理论中才受到更多的关注（Monjardet 2005）。特别是，吉尔布劳德预见到了最近对判断聚合工作的一些基础思想。关于社会选择理论历史的更多贡献，参见McLean, McMillan, and Monroe (1996)，McLean and Urken (1995)，McLean and Hewitt (1994)，以及由Salles (2005)编辑的《社会选择与福利》的特刊。

2 少数服从多数规则的三个正式论据

为了正式介绍社会选择理论，我们可以考虑一个简单的决策问题：在两个备选方案中进行集体选择。

2.1 汇总规则的概念

设\(N = \{1, 2, \ldots ,n\}\)为一组个体，其中\(n \ge 2\)。这些个体必须在两个备选方案（候选人、政策等）之间做出选择。每个个体\(i \in N\)投一票，记为\(v_i\)，其中：

• \(v_i=1\) 代表对第一备选方案投赞成票，
• \(v_i=-1\) 代表对第二个备选方案投赞成票，
• \(v_i=0\) 代表弃权（为简单起见，本节不考虑这种可能性）。

个人投票的组合，\(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)，被称为一个配置。对于任何一个配置，群体都试图得出一个社会决策v，其中：

• \(v=1\) 代表选择第一种方案，
• \(v=-1\) 代表选择第二种方案，
• \(v=0\) 代表两种方案平局。

聚合规则是一个函数\(f\)，它将每个配置\(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)（在一些可接受的配置域中）分配给一个社会决策\(v = f(v_1, v_2 , \ldots , v_n)\)。例如：

少数服从多数规则：对于每个配置\(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)：

独裁规则：对于每个配置\(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)：

其中\(i \in N\)是预先确定的个体（“独裁者”）。

加权多数规则：对于每个配置\(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)：

其中\(w_1, w_2 , \ldots ,w_n\)是实数，被解释为 n 个个体的“投票权重”。

关于集合决策规则的概念，有两点值得注意。首先，在标准定义下，集合决策规则是按照扩展性来定义的，而非内涵性：它是个体输入和集体输出之间的映射（函数关系），而非一组明确的指令（在普通语言中的规则意义）。理论上，不同的指令集可能产生相同的输入到输出的映射。其次，一个集合决策规则是针对固定的个体集合 N 和固定的决策问题定义的，因此，在两个人的群体中的多数规则与三个人的群体中的多数规则是不同的数学对象。这种定义集合决策规则的方式的一个潜在缺点是，它使得确定给定的集合决策规则如何扩展到函数的正式定义域之外的输入变得更加困难。相反，如果我们得到了一组明确的指令，我们可能更容易推断，例如，这些指令如何从 n 个个体和三个备选项的情况扩展到 n+1 个个体和四个备选项的情况。

为了说明，表1和表2显示了二人组和三人组的多数规则作为扩展对象。每张表的行对应于不同可能的投票配置文件；最后一列显示了相应的社会决策结果。

表1：两个人的多数规则

表2：三个人的多数规则

现在我们用这种方式来表示一个聚合规则，可以帮助我们了解有多少可能的聚合规则。假设在可接受输入的领域中有\(k\)个配置文件（在目前的例子中，\(k=2^n\)，因为每个个体有两个选择，不允许弃权）。进一步假设，每个配置文件有\(l\)个可能的社会决策（在示例中，\(l=3\)，允许并列）。那么就有\(l^k\)个可能的聚合规则：相关表有k行，而在每行中，有\(l\)种可能的方式来指定最后的条目（集体决策）。因此，随着可接受配置文件的数量和可能的决策结果的数量的增加，可能的聚合规则的数量呈指数级增长。

为了从这个大类可能的聚合规则中非任意地选择一个，我们需要一些约束。现在我将考虑支持多数规则的三个正式论证。

2.2 少数服从多数规则的程序性论证

第一个涉及对个人投票和社会决策之间的关系施加一些“程序性”要求，并证明多数规则是唯一满足这些要求的聚合规则。梅（1952）提出了四项此类要求：

全域要求：聚合规则的可接受输入的域包含所有逻辑上可能的投票配置 \(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)，其中每个 \(v_i \in \{-1,1\}\)。 匿名性：对于任何可接受的投票配置 \(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\) 和 \(\langle w_1, w_2 , \ldots ,w_n\rangle\)，如果他们是彼此的排列（即，通过重新排列条目可以从一个得到另一个），那么社会决策结果是相同的，即 \(f(v_1, v_2 , \ldots ,v_n) = f(w_1, w_2 , \ldots ,w_n)\). 中立性：对于任何可接受的投票配置 \(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)，如果对两个备选方案的投票结果进行反转，那么社会决策的结果也会反转，即 \(f(-v_1, -v_2 , \ldots ,-v_n) = -f(v_1, v_2 , \ldots ,v_n)\). 积极反应性：对于任何可接受的投票配置 \(\langle v_1, v_2 , \ldots ,v_n\rangle\)，如果有些选民改变了他们的投票以支持一种选择（比如说第一种），并且所有其他的投票保持不变，那么社会决策并不会向相反的方向改变；如果在改变之前的社会决策结果是平局，那么在改变的方向上打破平局，即，如果 [对于某个 \(i\)，\(w_i \gt v_i\) 并且对于所有其他的 \(j\)， \(w_j = v_j\)] 并且 \(f(v_1, v_2 , \ldots ,v_n) = 0\) 或者 1，那么 \(f(w_1, w_2 , \ldots ,w_n) = 1\).

“全域”要求聚合规则能应对其输入中的任何程度的“多元性”；”匿名性”要求它平等对待所有的选民；”中立性”要求它平等对待所有的备选方案；而”积极反应性”要求社会决策是人们投票方式的正向函数。May证明了以下内容：

定理（May 1952）：如果一个聚合规则满足全域性、匿名性、中立性和积极反应性，那么它一定是多数规则，反之亦然。

除了基于四个可信的程序期望值为多数决提供了一个理由之外，这个定理还帮助我们根据它们违反的期望值来描述其他的汇总规则。独裁制度和个体权重不等的加权多数规则违反了匿名性。不对称的超级多数规则（其中需要超过投票的绝对多数，如三分之二或四分之三，才能支持其中一个备选方案，而另一个备选方案是默认选择）违反了中立性。这在某些情况下可能是合理的，例如在陪审团的决定中，有偏向其中一个备选方案的倾向，比如被告的假设无罪。对称的超级多数规则（在此，除非有足够大的超级多数支持，否则不会选择任何备选方案）违反了积极反应性。一个更为牵强的违反积极反应性的汇总规则例子是反向多数规则（在这里，被大多数人拒绝的备选方案赢得胜利）。

May的定理已经以各种方式被推广，包括到数学上有趣但不切实际的无限选民集合的情况（Fey 2004），以及在多个选项之间进行选择（例如，Cantillon 和 Rangel 2002，提供了一个类似 May 的成对多数投票的表述；Goodin 和 List 2006，提供了一个类似 May 的多数规则的表述）。

2.3 少数服从多数规则的认识论论证

孔多塞的陪审团定理为多数规则提供了一个功利主义的论证。这个论证是”认知的”，因为汇总规则被解释为一个追踪真实情况的设备（例如，Grofman, Owen 和 Feld 1983；List 和 Goodin 2001）。

假设目标是对一些独立于程序的事实或世界状态进行判断，记为 \(X\)。在陪审团决策中，被告要么是有罪的 \((X = 1)\)，要么是无罪的 \((X = -1)\).在专家小组对某项技术的安全性进行决策时，这项技术可能是安全的 \((X = 1)\)，也可能是不安全的 \((X = -1)\).每个人的投票表达了对那个事实或状态的判断，社会决策代表了集体判断。目标是得到一个事实上正确的集体判断。哪种汇总规则在”追踪真实情况”方面表现得最好，取决于个人投票与相关事实或世界状态之间的关系。

孔多塞假设每个个体在做出正确的判断上都比随机更胜一筹（能力假设），并且，给定世界状态，不同个体的判断是随机独立的（独立性假设）。形式上，让 \(V_1, V_2 , \ldots ,V_n\)（大写字母）表示生成特定个体投票 \(v_1, v_2 , \ldots ,v_n\)（小写字母）的随机变量，让 \(V = f(V_1, V_2 , \ldots ,V_n)\) 表示由给定的汇总规则 \(f\) 产生的代表社会决策 \(v = f(v_1, v_2 , \ldots ,v_n)\)的随机变量，比如多数规则。孔多塞的假设可以这样陈述：

能力假设：对于每个个体 \(i \in N\) 和每个世界状态 \(x \in \{-1,1\}, Pr(V_i = x｜X = x) = p \gt 1/2\)，其中 \(p\) 对所有个体和状态都是相同的。 独立性：不同个体的投票 \(V_1, V_2 , \ldots ,V_n\) 是相互独立的，条件是每个 \(x \in \{-1,1\}\) 的 \(X\) 的值。

在这些假设下，多数投票是一个很好的追踪真实情况的工具：

定理 (孔多塞的陪审团定理)：对于每个世界状态 \(x \in \{-1,1\}\)，多数决策正确的概率，\(Pr(V = x｜X = x)\)，大于每个个体的投票正确的概率，\(Pr(V_i = x｜X = x)\)，并且，随着个体数量 \(n\) 的增加，收敛到1。[^1]

第一部分（”大于每个个体的概率”）是非渐近的结论，第二部分（”收敛到1”）是渐近的结论。可以进一步证明，如果两个世界状态的先验概率相等（即，\(Pr(X = 1) = Pr(X = -1) = 1/2)\)），那么多数规则是所有汇总规则中最可靠的，它最大化了 \(Pr(V = X)\) （例如，Ben-Yashar 和 Nitzan 1997）。

尽管陪审团定理常常被引用来证明民主的认知优点（最近的讨论，见，例如，Landemore 2012 和 Goodin 和 Spiekermann 2018），但它的假设是高度理想化的。能力假设不是一个概念性的声明，而是一个实证性的声明，并取决于任何给定的决策问题。虽然平均（不一定是相等的）个体能力超过1/2可能足以让孔多塞的结论成立（例如，Grofman, Owen 和 Feld 1983；Boland 1989；Kanazawa 1998）[^2]，但如果个体是随机选取的（不比硬币翻转更好或更坏），或者他们比随机选取的还要差 \(（p \lt 1/2）\)。在后一种情况下，多数决策正确的概率小于每个个体投票正确的概率，并且随着陪审团规模的增加，收敛到0。定理的结论也可能在较不极端的情况下被削弱（Berend 和 Paroush 1998），例如当每个个体的可靠性虽然高于1/2，但是随着陪审团规模的增加，它是一个指数递减的函数接近1/2。

同样，独立性假设是否成立取决于所讨论的决策问题。虽然孔多塞的结论对于个体投票之间的一些相互依赖是鲁棒的，但这些依赖关系的结构很重要（例如，Boland 1989；Ladha 1992；Estlund 1994；Berend 和 Sapir 2007；Pivato 2017）。如果所有个体的投票都与彼此完全相关，或者模仿少数的观点领袖，那么集体判断就不比少数独立个体的判断更可靠。

贝叶斯网络，如Pearl（2000）关于因果关系的论述所使用的，已经被用来模拟选民依赖性对陪审团定理的影响，并区分更强和更弱的条件独立性（Dietrich 和 List 2004；Dietrich 和 Spiekermann 2013）。这项工作表明，在现实假设下，孔多塞的渐近结论不能成立，正确的多数决策的概率最多只能收敛到一个严格小于1的数（例如，陪审团的证据不误导的概率）。此外，Dietrich（2008）认为，孔多塞的原始两个假设从未同时得到证明，即使它们都是真的，也不能同时得到证据来支持它们。

最后，博弈论的工作挑战了陪审团定理的一个隐含的假设，即选民总是会真实地揭示他们的判断。即使所有的选民都更喜欢正确的集体判断，他们仍然可能有动机去歪曲他们的个体判断。这种情况可能发生在，条件是在决定结果的关键时刻，一个选民预计通过反对他或她自己的私人判断投票，比按照它投票有更高的机会得出正确的集体判断（Austin-Smith 和 Banks 1996；Feddersen 和 Pesendorfer 1998）。

2.4 少数服从多数规则的功利主义论证

另一种对多数规则的功利主义辩护而非认知论辩护，无需有一个独立的事实或世界状态供集体决策追踪。假设每个投票者从集体决策中得到某种效用，这取决于决策是否符合他或她的投票（偏好）：具体来说，每个投票者从他或她的投票与集体结果之间的匹配中得到1的效用，而从不匹配中得到0的效用。[^3]然后，Rae-Taylor定理指出，如果每个个体对每个两个替代方案的优先选择都有相等的先验概率，那么多数规则最大化了每个个体的期望效用（参见例如Mueller 2003）。

类似地，多数规则最小化了受挫选民的数量（定义为在败方的选民）并最大化了选民的总效用。Brighouse和Fleurbaey（2010）对这个结果进行了推广。定义选民\(i\)在决策中的利害关系，\(d_i\)，为他或她偏好的结果和不偏好的结果之间的效用差。Rae-Taylor定理依赖于一个隐含的等份额假设，即，对于所有\(i \in N\)，有\(d_i = 1\)。Brighouse和Fleurbaey表明，当允许选民的利害关系变化时，总效用不是通过多数规则而是通过加权多数规则来最大化的，其中每个个体\(i\)的投票权重\(w_i\)与他或她的利害关系\(d_i\)成比例。

3. 偏好的汇总

社会选择理论的核心是对偏好聚合的分析，这被理解为将几个个体对两个或更多社会选择的偏好排名聚合成一个单一的、集体的偏好排名（或选择）。基础框架由Arrow（1951/1963）引入，至今仍是标准。

3.1 基本框架

考虑一组个体 \(N = \{1, 2, \ldots ,n\}\) （\(n \ge 2\)）。设 \(X = \{x, y, z, \ldots \}\) 是一组社会选择，例如可能的世界、政策平台、选举候选人或货物分配。每个个体 \(i \in N\) 对这些选择有一个偏好排序 \(R_i\)：在 \(X\) 上的一种完整且可传递的二元关系[^4]。对于任何 \(x, y \in X\)，\(xR_i y\) 表示个体 \(i\) 对 \(x\) 的偏好弱于对 \(y\) 的偏好。我们用 \(xP_i y\) 表示如果 \(xR_i y\) 并且不是 \(yR_i x\) （“个体 \(i\) 严格偏好 \(x\) 比 \(y\)”），并用 \(xI_i y\) 表示如果 \(xR_i y\) 并且 \(yR_i x\) （“个体 \(i\) 对 \(x\) 和 \(y\) 持中立态度”）。

跨个体的偏好排序的组合，\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)，被称为一个配置。偏好聚合规则，\(F\)，是一个函数，它为每个配置\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)（在一些可接受的配置领域）分配一个在\(X\)上的社会偏好关系 \(R = F(R_1, R_2 , \ldots ,R_n)\). 当\(F\)从上下文明确，我们简单地写 \(R\) 为对应于 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 的社会偏好关系。

对于任何 \(x, y \in X\)，\(xR_y\) 表示社会上弱偏好 \(x\) 而非 \(y\). 我们也写作 \(xP_y\) 如果 xRy 并且不是 \(yR_x\)（‘社会上严格偏好 \(x\) 而非 \(y\)’），并且如果 \(xR_y\) 和 \(yR_x\)（‘\(x\) 和 \(y\) 在社会上并列’）我们写作 xIy。为了普遍性，我们并没有将 \(R\) 是完全和可迁移的这个要求内置在偏好聚合规则的定义中。

偏好聚合规则的典型例子是成对多数投票，如孔多塞所讨论的。在此，对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x,y \in X\)，只有当至少有和 \(yR_i x\) 一样多的人选择 xRiy 时，\(xR_y\) 才成立，形式上写作 \(｜\{i \in N : xR_i y\}｜ \ge ｜\{i \in N : yR_i x\}｜.\) 正如我们所看到的，这并不能保证社会偏好的传递性。[^5]

多数投票的非传递性偏好有多频繁？可以证明，导致循环多数偏好的偏好配置的比例随着参与者数量 \((n)\) 和替代方案数量 \((｜X｜)\) 的增加而增加。如果所有可能的偏好配置发生的概率都相等（所谓的“公正文化”场景），那么在大选民中，多数投票的循环应该是可能的（Gehrlein，1983）。 （技术性的工作进一步区分了“顶部循环”和可能的康多塞赢家以下的循环。）然而，在某些系统性的，甚至微小的偏离公正文化的情况下，循环的概率可能会明显降低（List 和 Goodin，2001：附录3；Tsetlin，Regenwetter，和 Grofman，2003；Regenwetter 等人，2006）。

3.2 阿罗定理

从成对多数投票抽象出来，阿罗提出了对偏好聚合规则 \(F\) 的以下条件。

全域定义：\(F\) 的定义域是所有逻辑上可能的完全和传递的个体偏好排序配置的集合。 排序：对于 \(F\) 的定义域中的任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots,R_n\rangle\)，社会偏好关系 \(R\) 是完全的和传递的。 弱帕累托原则：对于 \(F\) 的定义域中的任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)，如果对于所有 \(i \in N\)，\(xP_i y,\) 则 \(xP_y\)。 不相关替代物的独立性：对于 \(F\) 的定义域中的任何两个配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和 \(\langle R^*_1, R^*_2,\ldots, R^*_n\rangle\)，以及任何 \(x, y \in X\)，如果对于所有 \(i \in N\)，\(R_i\) 对于 \(x\) 和 \(y\) 的排名与 \(R^∗_i\) 对于 \(x\) 和 \(y\) 的排名一致，那么只有当 \(xR^∗_y\) 时才有 \(xR_y\)。 非独裁主义：不存在一个个体 \(i \in N\)，使得对于 \(F\) 的定义域中的所有 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和所有的 \(x, y \in X, xP_i y\) 蕴含 \(xP_y\)。

全域定义要求聚合规则能够处理其输入中的任何程度的“多元主义”。排序要求它产生“理性”的社会偏好，避免康多塞特循环。弱帕累托原则要求当所有个体都严格偏好选项 \(x\) 而非选项 \(y\) 时，社会也应如此。不相关替代物的独立性要求任何两个替代方案 \(x\) 和 \(y\) 之间的社会偏好仅取决于 \(x\) 和 \(y\) 之间的个体偏好，而不取决于个体对其他替代方案的偏好。非独裁主义要求没有“独裁者”，他总是决定社会偏好，而不考虑其他个体的偏好。（注意，成对多数投票满足除排序之外的所有这些条件。）

定理 (Arrow 1951/1963)：如果 \(｜X｜ \gt 2\)，那么不存在满足全域定义、排序、弱帕累托原则、不相关替代物的独立性和非独裁主义的偏好聚合规则。

很明显，这个结果适用于其他类型的排序的聚合，与偏好排序不同，例如 (i) 对多个假设的信念排序（序数信念），(ii) 单一决策者可能用来生成多个决策选项的全面考虑的排序的多个标准，和 (iii) 需要和解的冲突价值排名。

阿罗定理已被应用的其他聚合问题的例子包括：个人内部聚合问题（例如，May 1954；Hurley 1985）、理论选择（例如，Okasha 2011；参考 Morreau 2015）、证据融合（例如，Stegenga 2013）、将多个相似度排序聚合成一个全面考虑的相似度排序（例如，Morreau 2010；Kroedel 和 Huber 2013）、在规范性不确定性下的决策制定（例如，MacAskill 2016），以及在解释选择的竞争标准面前的激进解释（Hattiangadi 2020）。在每个案例中，阿罗定理的合理性取决于阿罗的序数主义框架和定理条件的特定于案例的合理性。

通常来说，如果我们认为阿罗的框架是适当的，而他的条件是

必不可少的，那么阿罗的定理就提出了一个严重的挑战。为了避开这个挑战，我们必须放松五个条件中的至少一个条件，或者放弃对聚合规则输入的排序限制，而为使用更丰富的输入进行辩护，如第4节中所讨论的。在接下来的部分中，我们将考虑从阿罗定理中寻找非独裁的出路。

3.3 偏好汇总的可能性

3.3.1 放宽通用领域

避开阿罗定理的一种方式是放宽全域定义。如果只需要聚合规则接受满足某些“凝聚”条件的偏好配置作为输入，那么如成对多数投票这样的聚合规则就会产生完全和传递的社会偏好。最知名的凝聚条件是单峰性（Black 1948）。

一个偏好配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 是单峰的，如果可选择项可以从“左”到“右”进行对齐（例如，在某种认知或意识形态的维度上），这样每个个体在该对齐上都有一个最喜欢的位置，当选项从最喜欢的位置越来越远（无论哪个方向）时，偏好度会降低。正式地，这需要 \(X\) 上存在一个线性排序 \(Ω\)，使得对于 \(X\) 中的任何三个可选择项 \(x,y,z\)，如果 \(y\) 在 \(Ω\) 中处于 \(x\) 和 \(z\) 之间，那么并非 \(xR_i y\) 和 \(zR_i y\) 的情况发生（这排除了在 \(x\) 和 \(z\) 之间、在 \(y\) 处的“洞”）。在某些民主环境中，单峰性是合理的。例如，如果 \(X\) 中的可选择项是不同的税率，每个人可能都有一个最喜欢的税率（对于自由主义者来说比社会主义者低），并且当其他税率与理想税率的距离增加时，偏好度就会降低。

Black（1948）证明，如果将聚合规则的定义域限制在满足单峰性的所有个体偏好排序配置的集合中，那么多数循环就不能发生，并且相对于相关的左右对齐，中位数个体的最喜欢的替代方案是孔多塞获胜者（假设 \(n\) 是奇数）。然后，成对多数投票满足了阿罗的其余条件 —— 这一点也被阿罗（1951/1963）详细讨论。

具有类似影响的其他定义域限制条件包括：单谷性（是单峰性的几何镜像）（Inada 1964）、可分为两组（同上），以及拉丁方格性（Ward 1965），后两者是更复杂的组合条件（有关审查，请参阅 Gaertner 2001）。Sen（1966）证明了所有这些条件都意味着一个更弱的条件，即三元价值限制。它要求，对于 \(X\) 中的每一个三元选项 \(x,y,z\)，存在 \(\{x,y,z\}\) 中的一个选项和一个等级 \(r \in \{1, 2, 3\}\)，使得没有个体将该选项在 \(x,y\) 和 \(z\) 中排在第 \(r\) 位。例如，所有个体都可能同意在 \(x,y\) 和 \(z\) 中，\(y\) 不是最差的 \((r=3)\)。三元价值限制足以形成传递的多数偏好。

关于实际偏好是否以及在何条件下落入此类受限定义域，一直存在很多讨论。例如，有人建议，小组讨论可以导致单峰偏好，因为它使参与者专注于一个共享的认知或意识形态维度（一种“元协议”）（Miller 1992；Knight and Johnson 1994；Dryzek and List 2003）。从讨论式意见投票的实验数据中获得的证据与这一假设相吻合，这些数据记录了参与者在一段小组讨论前后的偏好（List, Luskin, Fishkin, 和 McLean 2013），尽管还需要进一步的实证研究。关于讨论引导的“元协议”观点的批评性评估，请参见 Ottonelli 和 Porello（2013）。对于最近的计算研究，请参见 Rafiee Rad 和 Roy（2021）。

3.3.2 放松排序

我们通常期望偏好聚合规则输出排序，但有时我们可能只需要部分排序或者不完全传递的二元关系。一个产生传递性但通常不完全的社会偏好的聚合规则是帕累托优势规则：对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x, y \in X\)，\(xRy\) 当且仅当对于所有 \(i \in N\)，\(xP_i y\)。一个产生完全但通常不传递的社会偏好的聚合规则是帕累托扩展规则：对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x, y \in X\)，\(xRy\) 当且仅当不是所有的 \(i \in N\)，\(yP_i x\)。这两个规则都具有一致性精神，给每个个体否决 \(x\) 优于 \(y\) 的弱社会偏好的存在或其缺失的权力。

吉巴德（Gibbard，1969）证明，即使我们用他所说的准传递性替换传递性要求，聚合的可能性仍然非常有限。如果引导出严格关系 \(P\) 是传递的（而无差异关系 \(I\) 不必是传递的），那么称偏好关系 \(R\) 为准传递的。如果存在一个子集 \(M \subseteq N\)（即”寡头”），使得 (i) 如果对于所有 \(i \in M\)，都有 \(xP_i y\)，那么 \(xPy\)，以及 (ii) 如果对于一些 \(i \in M\)，有 \(xP_i y\)，那么 \(xRy\)，则称聚合规则为寡头的。帕累托扩展规则是一个具有 \(M = N\) 的寡头聚合规则的例子。在寡头制下，寡头集体具有决定权，并且拥有个人否决权。吉巴德证明了以下定理：

定理（吉巴德，1969）：如果 \(｜X｜>2\)，那么不存在满足全域性、社会偏好的准传递性和完整性、弱帕累托原则、无关替代物的独立性和非寡头的偏好聚合规则。

3.3.3 放宽弱帕累托原则

弱帕累托原则可以说很难放弃。我们可能取消这一原则的一个情况是虚假的一致性，其中对于 \(x\) 优于 \(y\) 的一致性偏好基于互不一致的原因（例如，Mongin 1997；Gilboa, Samet, 和 Schmeidler 2004）。例如，两个男人可能都更喜欢打斗（选项 \(x\)）而不是不打（选项 \(y\)），因为他们都过度估计了自己的获胜机会。可能不存在对决斗可能结果（即，谁会赢）的共识的概率分配，这样就能“合理化”对 \(x\) 优于 \(y\) 的一致偏好。在这种情况下，一致的偏好并不是社会偏好的好指标。然而，这个例子依赖于一个事实，即打斗和不打斗的选择并不是完全确定的结果，而是不确定的前景。可以说，在没有不确定性的情况下，弱帕累托原则更有说服力。

当弱帕累托原则被放弃时，一个可能的聚合规则是强加规则，对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)，社会偏好关系 \(R\) 是对选项的一个预先固定的（“强加的”）排序 \(R_{\textit{imposed}}\)。虽然这种聚合规则完全不考虑个体偏好，但它满足了阿罗的其余条件。另一种可能性，虽然同样退化，但会使一个个体成为“逆独裁者”。这里，对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x,y \in X\)，我们有 \(xRy\) 当且仅当 \(yR_i x\)，其中 \(i\) 是预先确定的个体。因此，社会偏好总是和个体 \(i\) 的偏好相反。在形式上，这个聚合规则满足了阿罗的所有条件，除了弱帕累托原则。

尽管从民主的角度看，一致的个人偏好应该在社会层面得到尊重（至少在一致性不是“虚假的”时候）的观点似乎很难被反驳，但我们将在下面的第3.4节考虑对帕累托原则的批评。

3.3.4 放宽无关备选方案的独立性

获得可能的偏好聚合规则的常见方式是放弃对无关选择的独立性。几乎所有熟悉的涉及三个或更多选项的投票方法，包括某种形式的优先级投票（要求选民表达全面或部分偏好顺序），都违反了这一条件。

一个标准的例子是多数规则：在此，对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x, y \in X\)，\(xRy\) 当且仅当 \(｜\{i \in N\) : 对于所有 \(z \ne x\), \(xP_i z\}｜ \ge ｜\{i \in N\) : 对于所有 \(z \ne y\), \(yP_i z\}｜.\) 非正式地说，选项在社会上的排名取决于有多少人最喜欢每个选项。多数规则避免了康多塞特的悖论，但遇到了其他问题。最显著的问题是，一个对所有其他选项都被多数人不喜欢的选项可能在多数规则下胜出：如果34%的选民将 \(x\) 排在 \(y\) 之上， \(y\) 排在 \(z\) 之上，33%的选民将 \(y\) 排在 \(z\) 之上， \(z\) 排在 \(x\) 之上，33%的选民将 \(z\) 排在 \(y\) 之上， \(y\) 排在 \(x\) 之上，多数规则会将 \(x\) 排在 \(y\) 和 \(z\) 之上，而成对多数投票会将 \(y\) 排在 \(z\) 之上， \(z\) 排在 \(x\) 之上（ \(y\) 是康多塞特赢家）。通过忽视个人对较低排名选项的考虑，多数规则也违反了弱帕累托原则。然而，在“限制性的信息环境”下，多数规则可能是合理的，其中投票程序只收集选民的最高优先级偏好，而不是他们的全部偏好排名（Goodin and List 2006）。

违反无关选择独立性的偏好聚合规则的第二个例子是Borda计数法（例如，Saari 1990）。在此，对于任何配置 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) 和任何 \(x, y \in X\)，\(xRy\) 当且仅当 \(\sum_{i \in N} ｜\{z \in X : xR_i z\}｜ \ge \sum_{i \in N} ｜\{z \in X : yR_i z\}｜.\) 非正式地说，每个选民都会根据选项在其偏好排序中的位置给每个选项打分。最喜欢的选项得分为 \(k\)（其中 \(k=｜X｜\)），第二喜欢的选项得分为 \(k−1\)，第三喜欢的选项得分为 \(k−2\)，依此类推。然后，选项在社会上的排名是根据它们在选民之间的得分总和来确定的：得分总和最大的选项在最上面，得分总和第二大的选项在次位，依此类推。

要看到这是如何违反无关选择的独立性的，考虑四个选项 \((x,y,z,w)\) 的两个个人偏好排序配置，如表3和表4所示。

表 3：个人偏好排序概况

表 4：略有改动的个人偏好排序概况

在表 3 中，四个备选方案的博尔达得分分别为：

• \(x: 9 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 51\),
• \(y: 1 \cdot 4 + 6 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = 26\),
• \(z: 1 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 = 52\),
• \(w: 1 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 8 \cdot 1 = 21\),

导致社会偏好\(z\)而不是\(x\)比\(y\)超过\(w\). 在表 4 中，博尔达分数为：

• \(x: 7 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 52\),
• \(y: 1 \cdot 3 + 6 \cdot 1 + 8 \cdot 2 = 25\),
• \(z: 1 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 = 51\),
• \(w: 7 \cdot 2 + 8 \cdot 1 = 22\),

这导致了社会上对于 \(x\) 优于 \(z\) 优于 \(y\) 优于 \(w\) 的偏好。这两个配置唯一的区别在于个体1的偏好排序，即使在这里，\(x\) 和 \(z\) 的相对排名也没有变化。尽管表3和表4中 \(x\) 和 \(z\) 的个人偏好完全相同，但是 \(x\) 和 \(z\) 的社会偏好却被颠倒了，这就违反了无关选择的独立性。

这样的违规在现实世界的投票规则中很常见，它们使得偏好聚合可能容易受到战略性投票和/或战略性议程设定的影响。在第3.5节中，我将用战略性投票的例子来说明这一点。

3.4 自由主义悖论

尽管弱帕累托原则可以说是阿罗条件中最不容易引起争议的一个，但Sen（1970a）对它提出了批评，该批评适用于当聚合规则被理解为不是一种投票方法，而是一种社会评价方法，社会规划者可以用它来对社会选择进行社会期望的排序。在这里，选择被理解为不是粗略的选举选项，而是更丰富的社会状态。Sen证明，在这种情况下，帕累托原则与他认为社会规划者应该尊重的“自由主义”原则冲突。

自由主义原则要求每个个体都应该被赋予一些基本的权利，以使他或她的偏好在某些时候具有社会决定性（即，不能被他人的偏好所覆盖）。直观地说，每个个体都有一个个人领域，在这个领域中，只有这个个体自己应该能够决定发生什么。举一个琐碎的例子，我应该能够独自决定我是睡在右边还是左边，对每个人来说都应该如此。所以，如果两个社会选择 \(x\) 和 \(y\) 仅在个体 \(i\) 睡觉的一侧有所不同，那么个体 \(i\) 对 \(x\) 和 \(y\) 的偏好应该决定 \(x\) 和 \(y\) 的社会偏好。（请记住，选择在这里被理解为详细指定的社会状态。）Sen的“最小自由主义”要求认为社会中至少应该有两个个体在每一对选择中都具有这样的决定权。这个要求是“最小”的，因为我们 ideally 希望的不仅仅是两个个体，而是每个人都有这样的权利，我们 ideally 希望这些权利涉及的不仅仅是一对选择。

最小自由主义：至少有两个不同的个体 \(i, j \in N\) ，他们每个人对至少一对选择具有决定性；也就是说，至少有一对（不同的）选择 \(x, y \in X\) ，对于每个偏好概况 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)，如果 \(xP_i y\) ，那么 \(xPy\)，如果 \(yP_i x\)，那么 \(yPx\)，并且至少有一对（不同的）选择 \(x^*, y^* \in X\) ，对于每个偏好概况 \(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\) ，如果 \(x^*P_j y^*\) ，那么 \(x^*Py^*\)，如果 \(y^*P_jx^*\) ，那么 \(y^*Px^*\)。

为了说明最小自由主义和弱帕累托原则之间的冲突，Sen让我们想象一个由两个个体，Lewd和Prude组成的社会，他们面临着谁（如果有的话）应该阅读一本具有争议的书《查泰莱夫人的情人》的决定。在Sen的故事中，Lewd最希望Prude阅读这本书（选择 \(x\)），其次希望他（Lewd）自己阅读这本书（选择 \(y\)），最不希望他们两人都不阅读这本书（选择 \(z\)）。Prude最希望他们两人都不阅读这本书（选择 \(z\)），其次希望他（Prude）自己阅读这本书（选择 \(x\)），最不希望Lewd阅读这本书（选择 \(y\)）。假设Lewd对 \(y\) 和 \(z\) 的选择具有决定性，那么社会应该更喜欢 \(y\) 而不是 \(z\)。假设Prude对 \(x\) 和 \(z\) 的选择具有决定性，那么社会应该更喜欢 \(z\) 而不是 \(x\)。但是，由于Lewd和Prude都更喜欢 \(x\) 而不是 \(y\)，弱帕累托原则（应用于 \(N = \{\)Lewd, Prude\(\}\)）意味着社会应该更喜欢 \(x\) 而不是 \(y\)。因此，我们面临一个社会偏好循环：社会上更喜欢 \(x\) 而不是 \(y\)，更喜欢 \(y\) 而不是 \(z\)，更喜欢 \(z\) 而不是 \(x\)。Sen将这个问题泛化为现在被称为“自由主义悖论”。

定理 (Sen 1970a)：没有一个偏好聚合规则可以满足全域性、社会偏好的非循环性、弱帕累托原则和最小自由主义。

这个结果表明，如果我们希望尊重个人权利，我们可能有时必须牺牲帕累托效率。因此，Sen提出了“帕累托式的自由主义者不可能存在”。另一个结论是，弱帕累托原则只有在可以接受的偏好概况的域被适当地限制时，才能与最小自由主义相容，例如对于那些“宽容”的或不是“干涉”的偏好（Blau 1975；Craven 1982；Gigliotti 1986；Sen 1983）。在Sen的例子中，Lewd和Prude的偏好是“干涉”的。他们每个人都在“干涉”对方的私人领域。

然而，一些作者挑战了Sen结果的相关性，他们认为他的“最小自由主义”条件使用了对个体权利概念的不恰当的形式化（例如，Gaertner、Pattanaik和Suzumura 1992；Dowding和van Hees 2003）。

3.5 吉巴德-萨特斯韦特(Gibbard-Satterthwaite)定理

到目前为止，我们已经讨论了偏好聚合规则，它将个人偏好顺序的轮廓映射到社会偏好关系。我们现在考虑社会选择规则，其输出是一个或多个获胜的替代方案。正式地说，一个社会选择规则，\(f\)，是一个函数，它将每个轮廓\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)（在一些可接受的轮廓域中）分配给一个社会选择集合\(f(R_1, R_2 , \ldots ,R_n) \subseteq X\)。一个社会选择规则\(f\)可以从一个偏好聚合规则\(F\)中派生出来，通过定义\(f(R_1, R_2 , \ldots ,R_n) = \{x \in X\)：对所有的\(y \in X\)，\(xRy\}\)，其中\(R = F(R_1, R_2 , \ldots ,R_n)\)；反过来通常不成立。我们称有时被选择的替代方案集合为\(f\)的范围。[^6]

Condorcet胜者准则定义了一个社会选择规则，对于每个轮廓\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)，\(f(R_1, R_2 , \ldots ,R_n)\)包含在\(X\)中的每一个在两两多数投票中赢得或至少与其他任何替代方案并列的替代方案。如Condorcet的悖论所示，这可能会产生一个空的选择集。相比之下，多数规则和Borda计数产生的社会选择规则总是会产生非空的选择集。它们也满足以下基本条件（最后一个条件适用于\(｜X｜ \ge 3)\)）：

普遍领域：\(f\)的领域是所有逻辑可能的完全和传递的个人偏好排序轮廓的集合。

非独裁：不存在一个个体\(i \in N\)，使得对于\(f\)的领域中的所有\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)和\(f\)范围中的所有\(x\)，有\(yR_i x\)，其中\(y \in f(R_1, R_2 , \ldots ,R_n)\)。[^7]

范围约束：\(f\)的范围包含至少三个不同的选项（理想情况下，\(X\)中的所有选项都在范围内）。

在适当的平局决断标准的补充下，多数派和Borda规则可以进一步被确定为‘坚决的’：

坚决性：社会选择规则\(f\)总是产生一个独特的获胜方案（一个单一的选择集）。（我们然后写\(x = f(R_1, R_2 , \ldots ,R_n)\)来表示配置\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)的获胜方案。）

令人惊讶的是，这个条件列表与以下进一步的要求冲突。

策略无可挑剔性：不存在一个配置\(\langle R_1, R_2 , \ldots ,R_n\rangle\)在\(f\)的领域中，其中\(f\)可以被某个个体\(i \in N\)操纵，这里的可操纵性指的是以下的意思：如果\(i\)提交一个假的偏好排序\(R'_i\) \((\ne R_i)\)，那么获胜的方案就是一个方案\(y'\)，这个方案\(i\)严格偏好（根据\(R_i\)）于如果\(i\)提交真实的偏好排序\(R_i\)时会获胜的方案\(y\)。[^8]

定理（Gibbard 1973; Satterthwaite 1975）：不存在满足普遍领域，非独裁，范围约束，坚决性，和策略无可挑剔性的社会选择规则。

这个结果对社会选择规则的不同要求之间的权衡提出了重要的问题。独裁制，总是选择独裁者最偏爱的方案，这显然是策略无可挑剔的。显然，独裁者没有动机进行策略性投票，其他人也没有这种动机，因为结果只取决于独裁者。

为了看到Borda计数违反了策略无可挑剔性，回想一下上面表3和表4的例子。如果表3中的个体1真实地提交了偏好排序\(yP_1 xP_1 zP_1 w\)，那么Borda获胜者是\(z\)，我们已经看到了。如果个体1错误地提交了偏好排序\(xP_1 yP_1 wP_1 z\)，如表4所示，那么Borda获胜者是\(x\)。但是根据他或她真实的偏好排序（在表3中），个体1偏好\(x\)而不是\(z\)，因此他或她有动机进行策略性投票。

Moulin（1980）已经证明，当社会选择规则的领域被限制为单峰偏好配置时，成对多数投票和其他所谓的“中位数投票”方案可以满足Gibbard-Satterthwaite定理的其他条件。类似地，当集体决策仅限于二元选择时，也就是说取消范围约束，多数投票满足了其他的条件。如果放弃坚决性，从定理中逃脱的其他可能途径会出现。在所有方案总是被选择的极限情况下，其他条件是空洞满足的。

策略无可挑剔性的要求也受到了挑战。一种论点是，即使在Gibbard-Satterthwaite定理的技术意义上存在策略性激励，个体也不一定会采取行动。他们需要有关其他人偏好的详细信息，并且需要足够的计算能力来找出最优的策略性修改偏好是什么。这两个要求一般都不能满足。Bartholdi, Tovey和Trick（1989）证明，由于计算复杂性，一些社会选择规则对策略性操纵有抵抗力：对选民来说，确定如何策略性投票可能是一个NP-hard问题。顺着这个思路，Harrison和McDaniel（2008）提供了实验证据，表明“Kemeny规则”，一个旨在避免Condorcet循环的成对多数投票的扩展，是“行为上激励兼容的”：即，策略性操纵在计算上是困难的。

Dowding和van Hees（2008）争论并非所有形式的策略性投票都在规范上有问题。他们区分了“诚实”和“不诚实”的操纵形式，并认为只有后者而不是前者在规范上是有问题的。诚实的操纵发生在选民（i）投票支持一个妥协的方案，从而增加其获胜的机会，并且（ii）真心喜欢那个妥协的方案，而不是那个本来会赢的方案。例如，在2000年美国总统大选中，拉尔夫·纳德尔（一位几乎没有获胜机会的第三方候选人）的支持者投票给阿尔·戈尔，以增加他击败乔治·W·布什的机会，他们在（i）和（ii）的意义上进行了诚实的操纵。多数派规则易于受到诚实操纵，但不易受到不诚实操纵的影响。

4. 福利措施或定性评级的汇总

对于偏好聚合的不可能性结果，一种应对方式是认为，仅仅按照偏好顺序排列替代方案提供的信息不足以做出令人满意的集体决策。这个观点是，如果我们丰富社会选择的信息基础，我们就可以避免一些负面结果。这至少可以通过两种方式来实现。第一种方式，也是最受关注的方式，是用更丰富的福利度量替代偏好排序，这可能允许进行人际比较。这一部分的大部分将致力于这个提议。第二种最近流行的提议是用定性评级替代偏好排序。这将在本节的最后进行讨论。

4.1 森对阿罗框架的扩展

阿罗的框架中内置了一个假设，即偏好是序数的，并且不能进行人际比较：偏好排序不包含每个个体偏好强度的信息，也不包含如何比较不同个体的偏好。例如，”个体1更喜欢替代方案\(x\)，超过个体2更喜欢替代方案\(y\)“或”个体1更喜欢从\(x\)切换到\(y\)，超过个体2更喜欢从\(x^*\)切换到\(y^*\)“这样的陈述被认为是无意义的。

在投票环境中，这种假设可能是合理的，因为我们经常可能无法从选民那里获得比选项的序数排名更多的信息。但在福利评估环境中——当社会规划者寻求将不同的社会选择按照社会福利的顺序排列时——使用更丰富的信息可能是有道理的。Sen (1970b)将这种更丰富的信息融入到了阿罗的框架中。

像之前一样，考虑一组个体\(N = \{1, 2, \ldots ,n\}\) \((n \ge 2)\)和一组社会替代方案\(X = \{x, y, z, \ldots \}\). 现在，每个个体\(i \in N\)对这些替代方案都有一个福利函数\(W_i\)，它为每个替代方案\(x \in X\)分配一个实数\(W_i (x)\)，解释为在替代方案\(x\)下的\(i\)的福利度量。任何在\(X\)上的福利函数都会导致\(X\)上的排序，但反过来不成立：福利函数编码更多的信息。个体之间的福利函数的组合\(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)被称为档案。

一个社会福利函数（SWFL），也用\(F\)表示，是一个函数，它为每个档案\(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)（在某些可接受的档案域内）分配一个社会偏好关系\(R = F(W_1, W_2 , \ldots ,W_n)\)在\(X\)上，解释为我们熟悉的方式。再次，当\(F\)在上下文中清楚时，我们写\(R\)代表与\(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)对应的社会偏好关系。一个社会福利函数的输出类似于一个偏好聚合规则的输出（再次，我们并未将\(R\)的完整性或传递性内置于定义[^9]中，但其输入更为丰富。

我们从这个中获得的优势取决于我们在确定社会偏好时允许自己使用多少丰富信息输入：技术上说，这取决于我们关于福利的可测量性和人际可比性的假设。

4.2 福利的可衡量性和人际可比性

通过为替代方案分配实数，福利配置包含了比它们所引发的\(X\)上的排序配置更多的信息。对替代方案的数字分配可能导致相同的排序配置。但我们可能不认为所有这些信息都有意义。其中一些可能是数字表示的产物。例如，配置\(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)与其按比例放大的版本\(\langle 10\cdot W_1, 10 \cdot W_2,\ldots , 10\cdot W_n\rangle\)之间的差异，其中在比例上的一切都相同，可能就像厘米和英寸之间的长度测量差异。这两个配置可以被视为完全相同信息的替代表示，只是在不同的尺度上。

为了表达关于福利函数配置所真正编码的信息和不编码的信息的不同假设（并且因此应该最多被视为数字表示的产物），引入有意义陈述的概念是有帮助的。以下是关于个体福利的一些候选有意义陈述的示例（这些表述来自于List 2003a；更早的分析请参见Bossert 1991和Bossert和Weymark 1996：第5节）：

水平比较：个体\(i\)在替代方案\(x\)下的福利至少与个体\(j\)在替代方案\(y\)下的福利一样大，形式上表示为\(W_i (x) \ge W_j (y)\)。（如果\(i = j\)，则比较是个人内部的；如果\(i \ne j\)，则比较是人际的。）

单位比较：如果我们从替代方案\(y_1\)切换到替代方案\(x_1\)，个体\(i\)的福利增益或损失与个体\(j\)的福利增益或损失的比率为\(\lambda\)，其中\(\lambda\)是某个实数，形式上表示为\(((W_i (x_1) - W_i (y_1)) / (W_j (x_2) - W_j (y_2)) = \lambda\)。（再次强调，如果\(i = j\)，则比较是个人内部的；如果\(i \ne j\)，则比较是人际的。）

零比较：个体\(i\)在替代方案\(x\)下的福利大于/等于/小于零，形式上表示为\(\textit{sign}(W_i (x)) = \lambda\)，其中\(\lambda \in \{-1, 0, 1\}\)，\(\textit{sign}\)是一个将严格负数映射到\(−1\)，零映射到0，严格正数映射到\(+1\)的实值函数。

正如前面所提到的，阿罗认为只有个人内部的比较才是有意义的，而其他类型的比较则没有意义。Sen（1970b）通过（i）在福利配置中定义了一个等价关系，该关系指定了何时两个配置被视为“包含相同信息”，以及（ii）要求同一等价类中的任何配置生成相同的社会偏好排序，从而形式化了关于福利可测量性和人际可比性的各种假设。在上面介绍的三种比较语句中，有意义的是在每个等价类中都是不变的。阿罗的序数主义假设可以表述如下：

没有人际可比性的序数可测量性（ONC）：当且仅当对于每个\(i \in N\)，\(W^*_i = \phi_i (W_i)\)，其中\(\phi_i\)是一些正的单调变换（可能对不同的个体不同），两个配置\(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)和\(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\)包含相同的信息。

因此，任何配置中的个人福利函数都可以任意单调变换（“拉伸或压缩”），而不会丢失信息，从而排除了任何人际比较甚至个人内部单位的比较。

如果福利是基数可测量的，但仍然无法进行人际比较，我们有：

有基数可测度但没有人际可比性 (CNC)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\), \(W^*_i = a_i W_i + b_i\)，其中 \(a_i\)s 和 \(b_i\)s 是实数（且 \(a_i \gt 0\)），对于不同的个体可能不同。

在这里，每个个体的福利函数对于正的仿射变换（‘缩放和移位’）是唯一的，但个体之间仍然没有共同的比例尺。这使得个人之内的水平和单位比较变得有意义，但排除了人际比较和零比较。

在以下的序数可测度的丰富变体下实现了人际水平的可比性：

具有人际水平可比性的序数可测度 (OLC)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\), \(W^*_i = \phi(W_i)\)，其中 \(\phi\) 对所有个体都是相同的正单调变换。

在这里，个体福利函数的档案可以被任意的单调变换（‘拉伸或压缩’）而不失去信息，但所有个体必须使用相同的变换，从而使得人际水平比较变得有意义。

在以下的基数可测度的丰富变体下实现了人际单位的可比性：

具有人际单位可比性的基数可测度 (CUC)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\), \(W^*_i = aW_i + b_i\)，其中 \(a\) 是对所有个体都相同的实数 \((a \gt 0)\) 而 \(b_i\)s 是实数。

这里，每个档案中的福利函数可以在不失去信息的情况下重新进行缩放和移位，但所有个体必须使用相同的标量倍数（尽管不一定是相同的移位常数），从而使得人际单位比较变得有意义。

最后，在以下的序数可测度的丰富变体下，零比较变得有意义（List 2001）：

具有零可比性的序数可测度 (ONC\(+0)\)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\), \(W^*_i = \phi_i (W_i)\)，其中 \(\phi_i\) 是某种可能对不同的个体有所不同的正单调且保持零的变换。（这里的保持零意味着 \(\phi_i(0) = 0\)。）

这允许对个体福利函数进行任意的拉伸和压缩而不会损失信息，只要零的福利水平保持固定，从而确保零的可比性。

文献中讨论了其他几种可测度和人际可比性的假设。以下确保了两个水平和单位的人际比较的有意义性：

具有完全人际可比性的基数可测度 (CFC)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\), \(W^*_i = aW_i + b\)，其中 \(a, b\) 是对所有个体都相同的实数 \((a \gt 0)\)。

最后，如果我们接受以下的说法，那么所有三种类型的内部和人际比较（水平、单位和零）都是有意义的：

比率尺度的可测度与完全的人际可比性 (RFC)：当两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\) 之间，对于每个 \(i \in N\)，有 \(W^*_i = aW_i\)，其中 \(a\) 是对所有个体都相同的实数 \((a \gt 0)\)。

哪一个假设是合理的取决于如何解释福利。如果福利是享乐效用，它只能从第一人称的角度体验，那么人际比较就比较难以证明。而如果福利是主观偏好或欲望的客观满足（欲望满足观点）或是客观的好处或状态（客观清单观点），则不同。欲望满足观点可能使人际比较在经验上有意义（通过将每个个体在人际上有意义的最大和最小福利水平与他或她最喜欢和最不喜欢的选择的实现相联系），但可能在规范上并不吸引人（Hausman 1995）。不同个体最喜欢的选择可能在成本方面有很大的差异，例如由于某些个体的昂贵口味或适应性偏好，而我们不能肯定地认为把一个适度的个体在，比如说，便宜食物的饮食下的福利，与只有鱼子酱才能令人满意的某人的福利相等是公平的。与此相反，基于资源、功能或基本商品的福利货币可能允许以较少道德问题的方式进行人际比较。

4.3 福利汇总的可能性

一旦我们引入福利水平或单位的人际比较，或零比较，就存在可能的SWFLs满足Arrow条件的类似物以及更强的期望值。在福利聚合的背景下，Arrow的不可能性因此可以追溯到缺乏人际的可比性（有关详细分析，请参见Sen 1977和Roberts 1980）。

如前所述，如果对于任何两个被认为包含相同信息的档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\)，我们都有 \(F(W_1, W_2 , \ldots ,W_n) = F(W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n)\)，那么SWFL就尊重给定的可测度和人际比较的假设。Arrow的条件和定理可以如下重述：

通用域：\(F\)的定义域是所有逻辑可能的个人福利函数档案的集合。

排序：对于\(F\)定义域中的任何档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)，社交偏好关系\(R\)是完全的和可传递的。

弱帕累托原则：对于\(F\)定义域中的任何档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\)，如果对于所有 \(i\in N\) 都有 \(W_i (x) \gt W_i (y)\)，那么 \(xPy\)。

无关选择的独立性：对于\(F\)定义域中的任何两个档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和 \(\langle W^*_1, W^*_2,\ldots, W^*_n\rangle\)，以及任何 \(x, y \in X\)，如果对于所有 \(i \in N\) 都有 \(W_i(x) = W^*_i(x)\) 和 \(W_i (y) = W^*_i(y)\)，那么当且仅当 \(xR^*y\) 时，\(xRy\)。

非独裁主义：不存在个体 \(i \in N\)，使得对于\(F\)定义域中的所有 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和所有 \(x, y \in X, W_i (x) \gt W_i (y)\) 意味着 \(xPy\)。

定理：在ONC（或CNC，如Sen 1970b所示）下，如果 \(｜X｜ \gt 2\)，则不存在满足通用域、排序、弱帕累托原则、无关选择的独立性和非独裁主义的SWFL。

然而，关键的是，OLC、CUC和ONC\(+0\)每一个都足以证明存在满足所有其他条件的SWFLs：

定理（结合了文献中的多个结果，如下所示）：在OLC、CUC和ONC\(+0\)的每一个下，都存在满足通用域、排序、弱帕累托原则、无关选择的独立性和非独裁主义（以及更强条件）的SWFLs。

这样的SWFLs的一些例子来自政治哲学和福利经济学。在OLC下的一个可能的SWFL是罗尔斯差异原则（1971年）的一个版本。

最大最小值：对于任何档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和任何 \(x, y \in X\)，当且仅当 \(\min_{i\in N}(W_i (x)) \ge \min_{i \in N}(W_i (y))\) 时，\(xRy\)。

尽管最大最小值只根据最差的个体的福利水平对社交选择进行排序，但它的词典式扩展（leximin），得到了罗尔斯本人的认可，当在最差的水平上有平局时，使用第二差的个体的福利水平作为平局的决定因素，当在第二阶段有平局时，使用第三差的个体的福利水平作为平局的决定因素，依此类推。（但请注意，罗尔斯关注的是基本商品，而不是福利，作为相关的“货币”。）这满足了强（不仅仅是弱的）帕累托原则，要求如果对于所有\(i\in N\)都有 \(W_i (x) \ge W_i (y)\)，那么 \(xRy\)，并且如果此外对于某些 \(i \in N\) 有 \(W_i (x) \gt W_i (y)\)，那么 \(xPy.\)。

CUC下一个可能的SWFL的例子是经典的功利主义。

功利主义：对于任意档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和任意 \(x, y \in X\)，当且仅当 \(W_1 (x) + W_2 (x) + \ldots + W_n (x) \ge W_1 (y) + W_2 (y) + \ldots + W_n (y)\) 时，有 \(xRy\)。

最后，一个在ONC\(+0\)下的可能的SWFL的例子是一个常用的，尽管相当简单的贫困度量的变种。

人头计数规则：对于任意档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和任意 \(x, y \in X\)，当且仅当 \(｜\{i \in N : W_i (x) \lt 0\}｜ \lt ｜\{i \in N : W_i (y) \lt 0\}｜\) 或者 \([｜\{i \in N : W_i (x) \lt 0\}｜ = ｜\{i \in N : W_i (y) \lt 0\}｜\) 且 \(xR_jy]\)，其中 \(j \in N\) 是某个预先确定的打破平局的个体。

尽管在实质上不如最大最小值或功利主义规则引人注目，但人头计数规则只要求福利的零可比性（List 2001）。

因此，一个重要的结论是，罗尔斯的差异原则、经典的功利主义原则，甚至贫困测量的人头计数方法，都可以被视为解决Arrow的聚合问题的方法，只要我们超越Arrow的序数、人际不可比较的偏好框架。

在CFC下，可以同时对罗尔斯的最大最小原则和功利主义进行描述（Deschamps 和 Gevers 1978）。它使用了两个额外的公理。一个是最小公平，要求（用Sen 1977: 1548的话说）“一个人如果无论如何都要过得最好，他并不总是严格地得到他想要的”，另一个是可分离性，要求两个福利档案对于某个子集 \(M \subseteq N\) 是一致的，而在 \(N \setminus M\) 中的每个人都对所有在 \(X\) 中的替代品不感兴趣，会导致相同的社会排序。

定理（Deschamps 和 Gevers 1978）：在CFC下，任何满足普遍域、排序、强Pareto原则、无关选择的独立性、匿名性（如May的定理）、最小公平性和可分离性的SWFL要么是leximin，要么是功利主义类型（意味着，除非在总体福利上有平局，否则它与上面定义的功利主义SWFL一致）。

最后，在RFC下可获得的额外信息使’prioritarian’ SWFLs成为可能。[^10]像功利主义SWFLs一样，它们基于\(N\)中的个体福利总和对社会替代品进行排序，但它们并不直接求和福利，而是对福利进行凹面转换，对较低的福利水平给予更大的边际权重。

优先权主义：对于任何的福利档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和任何的 \(x, y \in X\)，只有当

\[W_1^r(x) + W_2^r (x) + \ldots + W_n ^r(x) \ge W_1^r (y) + W_2^r (y) + \ldots + W_n ^r(y)\]

其中 \(0 \lt r \lt 1\) 时，\(xRy\) 才成立。

优先权主义要求RFC，而不仅仅是CFC，因为根据设计，任何福利档案的优先权社会排序在福利水平发生变化（移位）时都不是不变的。

4.4 应用领域

当前的福利汇总框架已被应用于多个领域。其中的某些元素已经被用于分配正义的分析（例如，Roemer 1996），被提议作为在政策制定环境中对标准的成本效益分析的改进（例如，Adler 2012, 2019），并被应用于健康经济学（例如，Tsuchiya 和 Miyamoto 2009）。

这一框架还被推广到可变人口选择问题上，以形式化Parfit（1984）传统中的人口伦理学。在这里，我们必须对社会替代方案进行排序（例如，可能的世界），在这些方案中存在不同的个体。让 \(N(x)\) 表示在替代方案 \(x\) 下存在的个体集合。例如，当 \(x\) 和 \(y\) 是不同的替代方案时，集合 \(N(x)\) 可能与集合 \(N(y)\) 不同（这推广了我们之前关于固定集合 \(N\) 的假设）。可变人口情况提出了这样的问题：一个拥有较少数量但更好福利的个体的世界，是否比一个拥有更多数量但福利较差的个体的世界更好、同样好或更差。（这里的重点是关于这样的世界的相对好处的价值问题，而不是关于实现它们的正确性或错误性的规范性问题。）

Parfit（1984）和其他人认为，古典功利主义受到了令人反感的结论的影响：一个拥有大量福利水平仅略高于零的个体的世界，可能拥有更大的总体福利，因此被认为比一个拥有较少数量但非常富裕的个体的世界更好。

Blackorby, Donaldson 和 Bossert（例如，2005年）已经从公理化的角度描述了不同的可变人口福利聚合方法，这些方法避免了令人反感的结论并满足了其他一些期望。其中一个解决方案是：

关键水平功利主义：对于任意的个体偏好档案 \(\langle W_1, W_2 , \ldots ,W_n\rangle\) 和任意的 \(x, y \in X\)，只有当

\[\sum_{i\in N(x)}[W_i (x) - c] \ge \sum_{i\in N(y)}[W_i(y) - c],\]

当中，\(c \ge 0\) 是某种“关键福利水平”，超过此水平的生活质量被认为是“体面的/好的”。

关键水平功利主义在参数 \(c\) 设定得足够大时可以避免令人反感的结论。与经典功利主义相比，它需要对福利的更强的可测量性，因为它生成的社会排序 \(R\) 在福利单位的重新规模化或福利水平的变化下通常不是不变的。即使是丰富的RFC设置也会迫使关键水平 \(c\) 变为零，从而使关键水平功利主义崩溃为经典功利主义，并使其再次容易受到令人反感的结论的攻击。正如Blackorby、Bossert和Donaldson（1999: 420）所指出的，

“一些在固定人口环境中在道德上适当的信息环境，在可变人口环境中有道德上不吸引人的后果。”

因此，在可变人口情况下，需要更加丰富的Arrow原始框架的信息基础来避免不可能的结果。

SWFL方法已经被推广到每个个体都有多个福利函数的情况（例如，有\(k\)元组），捕获(i)关于每个个体福利的多种观点（例如，Roberts 1995; Ooghe和Lauwers 2005）或(ii)福利的多个维度（例如，List 2004a）。在这种情况下，我们不仅面临可测量性和人际可比性的问题，还面临着跨观点或跨维度可比性的问题。为了获得令人信服的可能性结果，需要跨个体和维度/观点的可比性。一个相关的文献涉及多维度的不平等度量（关于入门级的评论，请参阅Weymark 2006）。

在生物学哲学中，一维和多维SWFL框架已被用于（由Okasha 2009和Bossert、Qi和Weymark 2013）分析群体适应性的概念，该概念被定义为个体适应性指标的函数。

4.5 从排名到评级

改变社会选择的信息基础的一种明显的方法是让选民表达对备选方案的定性评分，而不是排名。有两种提议受到了特别关注：首先是“批准投票”，其次是更一般的“等级聚合”。

批准投票只是修改而不是丰富社会选择的信息基础。在这里，个体指明他们批准的备选方案，其中“批准”可以意味着对一个备选方案说“是”，或者“好”，或者“满意”。每个人可以批准他或她希望的尽可能多或尽可能少的备选方案。这将备选方案集合分割为两个子集：批准的和未批准的。备选方案没有从头到尾的完全排序。正式地说，对于每一个个体 \(i \in N\)，让 \(A_i\) 是由个体 \(i\) 批准的 \(X\) 的子集。那么集合 \(X\setminus A_i\) 包含未批准的备选方案。我们称 \(A_i\) 为个体 \(i\) 的批准选票。任务是找到一种方法，将给定的批准选票文件 \(\langle A_1, A_2 , \ldots ,A_n\rangle\) 聚合成一个集体结果，它也是 \(X\) 的一个子集，包括集体批准或获胜的备选方案。因此，聚合规则是一个函数 \(f\)，它为每一个文件 \(\langle A_1, A_2 , \ldots ,A_n\rangle\)（通常在所有可能的批准选票的领域内）分配一个 \(X\) 的子集，表示为 \(f(A_1, A_2 , \ldots ,A_n)\)。

Brams 和 Fishburn（1978, 1983）提出了以下的聚合规则，他们称之为批准投票：对于每一个文件 \(\langle A_1, A_2 , \ldots ,A_n\rangle\)，获胜备选方案的集合 \(f(A_1, A_2 , \ldots ,A_n)\) 包括所有获得最大数量个体批准的备选方案，即所有的备选方案 \(x \in X\)，使得对于每一个其他的备选方案 \(y \in X\)，都有 \(｜\{i \in N : x \in A_i\}｜ \ge ｜\{i \in N : y\in A_i\}｜.\)

我们可以将批准投票视为简单多数规则的一种推广。在简单多数规则下，每个选民只为一个备选方案投票—通常是他或她最喜欢的那个—得票最多的备选方案获胜（或者如果有几个备选方案得票数最多，则它们并列获胜）。在批准投票下，每个选民可以为任何数量的备选方案投票；同样，得票最多的备选方案获胜（或者可能有并列）。简单多数规则就像是对批准选票的领域限制的批准投票，其中每个选民只能批准一个备选方案。虽然允许不同的选民为不同数量的备选方案投票似乎违反直觉，但请注意，批准更多的备选方案并不一定会给选民带来更多的影响。在极限情况下，批准所有的备选方案等同于弃权或不批准它们，因为这样的批准选票对相对的投票总数没有任何影响。批准投票也可以被解释为实施对备选方案的“是”/“否”或“通过”/“不通过”的评分。要使一个备选方案“获胜”或被集体“批准”，它必须获得最大数量的“是”或“通过”等级。

关于批准投票是否激励选民真实地表达他们对备选方案的评价，存在一些争议。如果个体的基本偏好是二分的（即，他们将备选方案只划分为两个无差异的类，即优选和非优选的备选方案），那么批准投票是策略证明的，每个选民都有动机只为其优选的备选方案投票（Brams 和 Fishburn 1978）。然而，如果偏好不是二分的，那么批准投票就失去了这一特性（Niemi 1984）。在批准投票下的现实世界策略激励因此取决于选民偏好的结构。

可以根据调整后的May的四种条件对批准投票进行公理化的描述，这四种条件扩展到批准投票的设置。具体来说，批准投票是满足通用领域、中立性、正面响应性和一个被称为”选项式匿名性”的加强版匿名性的批准选票的唯一聚合规则（Goodin 和 List 2006）。后一条件正式表达了Brams 和 Fishburn非正式描述的原则：“实际上，简单多数投票下的‘一人一票’原则变成了批准投票下的‘一个候选人，一票’原则。也就是说，每个选民在批准投票下对每个候选人进行判断，所以票的关系不是与选民，而是与候选人”（Brams 和 Fishburn 1983: 12）。关于其他的公理化描述，参见Fishburn（1978, 1988）和Sertel（1988）。关于在选民不仅表达批准，而且对备选方案进行完全排序的设置中的批准投票的扩展，参见Brams和Sanver（2009）。

虽然批准投票实施了对备选方案的“是”/“否”或“通过”/“不通过”的评分形式，但Balinski 和 Laraki（2007, 2011）倡导了一种基于评分的更一般的社会选择方法。根据他们的建议，选民为备选方案分配等级，例如从我们熟悉的学校等级A、B、C等中选取，然后这些等级被聚合成集体等级，基于这些等级可以选择一个获胜的备选方案。他们首选的这一提议版本——他们称之为“多数判断”——定义每个备选方案的集体等级为与个别分配等级相对应的中位等级，即，将等级划分为等数量的、等级不低于和等级不高于的个体。例如，如果一个备选方案从五个个体那里获得了等级A、B、B、E和E，那么中位等级是B。当个体的数量是偶数时，可能存在一个中位或“中间”的等级区间。定义集体等级的这种方式的一个吸引人的特点是，“除了在中间区间的等级外，每个等级都被绝对多数的裁判认为过高或过低”（Balinski 和 Laraki 2007: 8723）。Balinski 和 Laraki进一步认为，这一提议将导致选民在一种直观明了的格式中表达对备选方案的考虑过的评价，并激励真实性，如下所述。

为了正式化这一点，我们设定 \(S\) 是所有可用等级的集合（“\(S\)”表示评分标准），其中 \(S\) 是非空的，并且从高到低线性排序。例如，\(S\) 可以是 \(\{\)A, B, C, D, E\(\}\) 或 \(\{ \text{Distinction,}\) \(\text{Merit,}\) \(\text{Pass,}\) \(\text{Fail}\}.\) 每个个体 \(i\) 对于 \(X\) 中的替代方案的等级分配是一个函数 \(G_i\) ，它为每个元素 \(x \in X\) 分配一个来自集合 \(S\) 的等级 \(G_i (x)\). 在 \(N\) 中的个体的等级分配的组合，\(\langle G_1, G_2 , \ldots ,G_n\rangle\), 被称为一个等级分配的概况。一个等级聚合规则是一个函数 \(f\) ，它为每一个等级分配的概况 \(\langle G_1, G_2 , \ldots ,G_n\rangle\) （在某些允许的领域中）分配一个集体等级分配 \(G = f(G_1, G_2 , \ldots ,G_n)\) ，其中，对于每一个 \(x \in X, G(x)\) 是 \(x\) 的集体等级。

Balinski 和 Laraki 提议了一个满意的等级聚合规则应该满足的几个条件。特别地，他们建议 \(f\) 应该是 (i) 为所有可能的个人等级分配概况定义的通用域；(ii) 以熟悉的方式对所有替代方案进行中立处理；(iii) 以同样熟悉的方式对待所有选民都是匿名的；(iv) 如果所有个体为某个替代方案分配相同的等级，这成为集体等级，那么它在意义上是一致的；(v) 如果某些个体提高了他们为某个替代方案的等级（其他等级保持不变），这并不会降低最终的集体等级，如果所有个体都提高等级，这相应地提高了集体等级，那么它在意义上是单调的；(vi) 在意义上独立于无关的替代方案，即任何替代方案的集体等级只取决于该替代方案的个人等级，而不是其他替代方案的个人等级；(vii) 当 \(S\) 是实数的子集时，连续的在意义上，对某一替代方案的个人等级的微小变化只会导致集体等级的微小变化。满足条件 (i) 到 (vii) 的等级聚合规则被称为社会评分函数。

Balinski 和 Laraki 展示了，在社会评分函数中，所谓的“顺序方法”是突出的。对于任何给定的个人等级分配概况 \(\langle G_1, G_2 , \ldots ,G_n\rangle\) ，一个顺序方法（带有参数 \(k\)）为每个替代方案 \(x \in X\) 分配该替代方案被个人分配的第 \(k\)^th 高的等级，即，列表中的第 \(k\)^th 最高等级 \(G_1 (x), G_2 (x), \ldots ,G_n (x)\). 一个顺序方法的最显著例子是上面已经提到的中位方法，它为每个选项分配它被个人分配的中位数等级。当 \(n\) 是奇数时，这是带有参数 \(k = (n+1)/2\) 的顺序方法。 （当 \(n\) 是偶数时，定义需要进行一些调整。）以下结果成立：

定理（Balinski 和 Laraki 2007）：一个社会评分函数在评分中是策略证明的当且仅当它是一个顺序方法。

这里，一个等级聚合规则被认为是在评分中策略证明的，如果它满足两个条件：首先，当一个个体对于一个替代方案 \(x \in X\) 的等级高于集体分配的等级时，这个个体最多只能通过单方面改变他或她的个体等级来降低（而永远不会提高）\(x\) 的集体等级；其次，当一个个体对于一个替代方案 \(x \in X\) 的等级低于集体分配的等级时，这个个体最多只能通过单方面改变他或她的个体等级来提高（而永远不会降低）\(x\) 的集体等级。在评分中的策略证明意味着，当目标是为 \(X\) 中的替代方案分配集体等级，并且每个选民都试图获得尽可能接近他们个体等级的集体等级时，他们不会被激励去错误地表示他们的等级。简而言之，真实地表达等级将是一个（弱）占主导地位的策略。

然而，如果使用集体分配的等级来选择其中的一个替代方案，那么战略性投票的激励可能会再次出现。正如Balinski和Laraki指出的，“当秩序排名是主要目标而不是等级时，评审员的策略行为可能会改变”（2007: 8724），而与在评分中的策略证明相对，在排名中的策略证明在一个社会评分函数中是不可实现的（同上），这个结果在某种程度上与Gibbard-Satterthwaite定理相似。进一步注意，仅仅集体的等级通常不足以确定一个唯一的获胜替代方案；两个或更多的替代方案可能会得到相同的最高等级。这引发了如何在等级中打破这种平局的问题，已经提出了许多可能的标准。有关讨论，请参见Fabre（2021）。

基于评分的社会选择方法面临的关键挑战是确保等级对所有选民都有共同的含义。除非一个“A”等级，例如，对所有选民都有相同的含义，否则聚合个体分配的等级的整个练习都不会有意义。一些选民可能比其他人评分更严格，那么我们就不可能推断出一个选民的“A”等级比另一个的“B”等级具有更强的质量信号。正如Sen的SWFL方法只有在我们可以假设福利的人际可比性的情况下才能避免社会选择的不可能结果，基于评分的方法只有在等级在适当的意义上是人际间可比的情况下才能使我们做出有意义的社会选择。关于对基于评分方法的批判的技术性发展，请参见Morreau（2016）。

5. 综合判断

集体决策的目标并不总是选择一个获胜的替代方案或按照社会偏好的顺序对多个替代方案进行排名。相反，许多决策机构必须将关于多个逻辑上相互连接的命题的个体判断集合汇总为集体的判断集合。

法院可能需要根据是否存在有效合同和是否有违约行为来判断被告是否因违反合同而承担责任。专家小组可能需要判断到2050年大气中的温室气体浓度是否会超过特定的阈值，是否存在从更高的温室气体浓度到温度上升的因果关系，以及温度是否会上升。立法者可能需要判断一个特定的目标是否在社会上是可取的，一个提议的政策是否是实现那个目标的最佳手段，以及是否要采取那个政策。

在每种情况下，“聚合物”不仅仅是对某一套替代方案的偏好排序、福利分配或评级，如前几节所讨论的模型中的那样。相反，“聚合物”是关于一些相互关联问题的整个判断或信仰体系。判断汇总的理论使用正式逻辑来表示它们。在本节的结尾，我们还简要考虑了概率判断或信念的汇总。

5.1 判决汇总的悖论

当代的判断汇总理论领域是由一系列的“悖论”所启发的，我们从这开始。Kornhauser和Sager（1986）描述了以下问题，现在被称为“原则悖论”。(一个在结构上类似的问题被Vacca于1921年发现，正如Elster 2013指出的，也被Poisson于1837年发现)。一个由三名法官组成的法庭必须对以下命题进行判断：

• \(p\): 被告在合同上有义务不做行动\(X\)。
• \(q\): 被告做了行动\(X\)。
• \(r\): 被告因违反合同而承担责任。

根据法律原则，前提条件\(p\)和\(q\)共同构成了结论\(r\)的充分和必要条件。假设个别法官持有表5所示的观点。

表5：‘原则悖论’的一个例子。

尽管每位法官都尊重相关的法律原则，但对\(p\)的多数意见、对\(q\)的多数意见和对\(r\)的反对多数意见却违反了法律原则。法院面临一个困境：它可以要么根据前提\((p\)和\(q)\)的多数判决得出“有责任”的裁决（即按问题逐一或基于前提的方法）；要么根据结论\((r)\)的多数判决得出“无责任”的裁决，而忽略对前提的多数判决（即逐案或基于结论的方法）。”原则悖论”在于这两种方法可能导致相反的结果。

我们还可以从这个例子中得到另一个教训。相对于法律原则，多数的判决在逻辑上是不一致的。正式地说，多数接受的命题集合，\(\{p, q\), 非 r\(\}\)，相对于约束条件\(r\) 当且仅当 \((p\) 和 \(q)\)是不一致的。这个观察是基于正式逻辑的判断聚合文献的起点。

多数判断可能存在不一致性并不仅限于有法律原则或其他明确的附加条件的情况（如Pettit 2001所指出，他称这种现象为”话语困境”）。假设，例如，一个专家小组必须对以下三个命题（及其否定）作出判断：

• \(p\): 到2050年，大气中的CO\(_2\)浓度将超过600ppm。
• 如果\(p\)那么\(q\)：如果大气中的CO\(_2\)在2050年之前超过这个水平，那么到2100年温度将上升超过3.5°。
• \(q\): 到2100年，温度将上升超过3.5°。

如果个体判断如表6所示，那么多数判断是不一致的：尽管个体判断是一致的，但多数接受的命题集合，\(\{p\), 如果 \(p\) 那么 \(q\), 非 \(q\}\)在逻辑上是不一致的。

表6：多数票的不一致性

请注意，表5和6中的判断模式在结构上与导致Condorcet悖论的偏好模式等效，当我们重新解释这些偏好为形如“\(x\)优于\(y\)”，“\(y\)优于\(z\)”等的命题判断时，如表7所示（List和Pettit 2004；此线的偏好的早期解释可以在Guilbaud [1952] 1966中找到）。在这里，多数接受的命题集合相对于传递性的约束是不一致的。

表7：Condorcet的悖论，用命题重新解释

一个普遍的组合结果包括了所有这些现象。如果一个命题集合在逻辑上是不一致的，但其所有适当的子集都是一致的，那么我们称这个命题集合为最小不一致集。

定理 (Dietrich和List 2007a; Nehring和Puppe 2007)：命题逐个的多数投票可能产生不一致的集体判断当且仅当要进行判断的命题集合（及其否定）有三个或更多命题的最小不一致子集。

在表6、5和7的例子中，大小（至少）为三的最小不一致集分别是：\(\{p\), 如果 p 那么 q, 非 q\(\}\)，这是简单的最小不一致；\(\{p, q\), 非 r\(\}\)，这是相对于旁注约束r 当且仅当 (p 和 q)的最小不一致；以及\(\{\)’\(x\)优于\(y\)’, ‘\(y\)优于\(z\)’, ‘\(z\)优于\(x'\}\)，这是相对于可取性上的传递性约束的最小不一致。

5.2 基本框架与一个简单的不可能性结果

判断聚合的问题可以如下形式化。设 \(N = \{1, 2, \ldots ,n\}\) 为一个个体集合（\(n \ge 2\)）。要进行判断的命题由命题逻辑（或者其他更具表达能力的逻辑，比如谓词逻辑、模态逻辑或条件逻辑，如Dietrich 2007中讨论的）的句子来表示。我们定义议程，记作 \(X\)，为一个有限的命题集合，该集合在单一否定 \(（\neg）\) 下是封闭的。[^11] 例如，在专家小组的情况下，\(X\) 可以是 \(\{p, \neg p, p\rightarrow q, \neg(p\rightarrow q), q, \neg q\}\)。

每个个体 \(i \in N\) 都有一个判断集合 \(J_i\)，定义为一个子集 \(J_i \subseteq X\)，并解释为个体 \(i\) 接受的命题集合。如果它是一个逻辑一致的命题集合^[12]，则判断集合是一致的；如果它包含了每一对命题和其否定 \(p, \neg p \in X\) 的成员，则它是完全的（相对于 \(X\)）。

一个个体间的判断集合的组合，\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，被称为一个配置文件。一个判断聚合规则，\(F\)，是一个将每个配置文件 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)（在某个可接受配置文件的域中）映射到一个集体判断集合 \(J = F(J_1, J_2 , \ldots ,J_n) \subseteq X\) 的函数，解释为作为一个整体的团体接受的命题集合。像以前一样，当 \(F\) 在上下文中清晰时，我们用 \(J\) 表示对应于 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\) 的集体判断集合。同样，为了通用性，我们没有在判断聚合规则的定义中加入任何关于 \(J\) 的合理性要求（如一致性或完整性）。

考虑以下几个关于聚合规则的条件：

普适域（Universal domain）：\(F\) 的定义域是所有逻辑上可能的一致且完整的个体判断集合的配置集。

集体合理性（Collective rationality）：对于 \(F\) 的定义域中的任何配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，集体判断集 \(J\) 是一致的和完整的。

匿名性（Anonymity）：对于任何两个彼此为排列的配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\) 和 \(\langle J^*_1, J^*_2, \ldots ,J^*_n\rangle\)，有 \(F(J_1, J_2 , \ldots ,J_n) = F(J^*_1, J^*_2, \ldots ,J^*_n)\)。

系统性（Systematicity）：对于 \(F\) 定义域中的任何两个配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\) 和 \(\langle J^*_1, J^*_2, \ldots ,J^*_n\rangle\)，以及任何 \(p, q \in X\)，如果对于所有 \(i \in N\)，只有当 \(p \in J_i\) 时，\(q \in J^*_i\)，那么 \(p \in J\) 当且仅当 \(q \in J^*\)。

首先三个条件与偏好聚合中的普适域、排序和匿名性相类似。最后一个条件是与“无关替代品独立性”相对应的，尽管更强：它要求（i）集体对任何命题 \(p \in X\) 的判断（其中二元排名命题，如“\(x\) 优于 \(y\)”是一个特例）仅依赖于个体对 \(p\) 的命题（这是独立性的部分），以及（ii）个体和集体判断之间的依赖关系模式在 \(X\) 中的所有命题上都是相同的（这是中立性的部分）。形式上，独立性是具有限制量化的 \(p = q\) 的特例。命题式多数投票满足所有这些条件，除了集体合理性的一致性部分。

定理（List 和 Pettit 2002）：如果 \(\{p, q, p\wedge q\} \subseteq X\)（其中 \(p\) 和 \(q\) 是相互独立的命题，且‘\(\wedge\)’也可以被‘\(\vee\)’或‘\(\rightarrow\)’替代），则不存在满足普适域、集体合理性、匿名性和系统性的判断聚合规则。

与其他不可能性定理一样，这个结果最好被解释为描述了聚合规则上不同条件之间的权衡。该结果已经以多种方式被推广和加强，开始于Pauly和van Hees（2006）证明，如果匿名性被减弱为非独裁性，不可能性仍然存在（有关其他推广，请参见Dietrich 2006和Mongin 2008）。

5.3 更一般的不可能性结果

正如我们所见，在偏好聚合中，可能性和不可能性结果之间的‘边界’容易划定：当只有两种决策选择时，上面回顾过的有关偏好聚合规则的所有期望都可以得到满足（多数规则能完成这项工作）；当有三种或更多选择时，就会出现不可能性结果。相比之下，在判断聚合中，情况更为复杂。重要的不是 \(X\) 中命题的数量，而是它们之间逻辑联系的性质。

判断聚合中的不可能性结果具有以下通用形式：对于给定的议程类别，满足特定条件集合（通常是一个域条件、一个合理性条件和一些响应性条件）的聚合规则是不存在的或退化的（例如，独裁性的）。不同类型的议程触发这一框架的不同实例，具体的议程属性会导致聚合规则上更强或更弱的条件，从而产生不可能性。议程的组合属性的重要性首先由Nehring和Puppe（2002，其他互联网资源）在数学上相关但解释上不同的框架（所谓的属性空间上的策略证明社会选择）中发现。议程有三种主要类型：

非简单议程：\(X\) 具有三个或更多命题的最小不一致子集。

可成对否定的议程：\(X\) 有一个最小的不一致子集 \(Y\)，通过否定其中一对命题可以使其变得一致。（等价地，\(X\) 不与只包含 \(\neg\) 和 \(\leftrightarrow\) 为唯一联结词的命题集在标准命题逻辑中是同构的；参见 Dokow 和 Holzman 2010a。）

路径连接的议程（或在 Nehring 和 Puppe 2002，其他互联网资源中称为完全阻塞）：\(X\) 中的任何一对或有命题都通过条件蕴涵的路径连接在一起。具体地说，对于 \(X\) 中的任何或有命题 \(p, q\)，存在 \(p_1, p_2 , \ldots ,p_k \in X\)，其中 \(p_1 = p\) 和 \(p_k = q\)，使得 \(p_1\) 条件性地蕴涵 \(p_2\)，\(p_2\) 条件性地蕴涵 \(p_3，\ldots\)，以及 \(p_{k-1}\) 条件性地蕴涵 \(p_k\)。（在这里，如果 \(p_i \cup Y\) 蕴涵 \(p_j\) 对于某个与 \(p_i\) 和 \(\neg p_j\) 都一致的 \(Y \subseteq X\)，则 \(p_i\) 条件性地蕴涵 \(p_j\)；而 \(p\) 是或有的，如果 \(\{p\}\) 和 \(\{\neg p\}\) 都不是逻辑上不一致的。）

一些议程具有两种或多种这些属性。在我们的”教义悖论”和”辩论困境”示例中的议程都是非简单和可成对否定的。举例来说，从专家小组示例中取出议程，\(X = \{p, \neg p, p\rightarrow q, \neg(p\rightarrow q), q, \neg q\}\). 它是非简单的，因为它具有大小为3的最小不一致子集，即 \(\{p, p\rightarrow q, \neg q\}\)，而且它是可成对否定的，因为它有一个最小不一致子集，即 \(Y = \{p, p\rightarrow q, \neg q\}\)，在其中我们可以找到一对命题，即 \(\{p, \neg q\}\)，如果我们用这些命题在 \(Y\) 中的否定式替换它们，结果集合是一致的（注意 \(\{\neg p, p\rightarrow q, q\}\) 是一致的）。一个具有所有三种组合属性的议程的例子是偏好议程，\(X = \{'\)x\(比\)y\(更可取', '\)y\(比\)x\(更可取', '\)x\(比\)z\(更可取', '\)z\(比\)x\(更可取', \ldots \}\)，假设可取性是传递和完整的，并且有三个或更多的替代方案 \(x, y, z, \ldots\)，在这些替代方案上定义了可取性。以下结果成立：

定理（Dietrich 和 List 2007b；Dokow 和 Holzman 2010a；基于Nehring 和 Puppe 2002，其他互联网资源）：如果 \(X\) 是非简单、可成对否定和路径连接的，那么不存在满足普遍域、集体合理性、独立性、一致性保留（要求对于任何一致的配置 \(\langle J, J, \ldots ,J\rangle\)， \(F(J, J, \ldots ,J) = J\)）和非独裁的判断聚合规则。[^13]

应用于偏好议程，这一结果产生了阿罗定理（对于严格的偏好排序）作为一个推论（关于一个前驱结果，参见 Nehring 2003）[^14]。因此，阿罗式的偏好聚合可以被重新解释为判断聚合的一个特殊情况。

相关文献中包含了这一定理的几个变体。一种变体放弃了路径连接性这一议程属性，并将独立性加强为系统性。第二种变体放弃了可成对否定性这一议程属性，并对聚合规则施加了一个单调性条件（要求额外的支持永远不会损害一个被接受的命题）（Nehring 和 Puppe 2010，重新阐述了一个来自Nehring 和 Puppe 2002的结果，其他互联网资源）。最后一种变体同时放弃路径连接性和可成对否定性，同时施加系统性和单调性（同上）。

在每种情况下，议程属性不仅是充分的，而且（如果 \(n \ge 3\)）也是必要的（Nehring 和 Puppe 2002 [其他互联网资源]，2010; Dokow 和 Holzman 2010a）。还要注意，路径连接性意味着非简单性。因此，非简单性不需要列在定理的条件中，尽管在放弃路径连接性的变体中是需要的。

5.4 判断聚合的可能性

5.4.1 放宽全域条件

在偏好聚合中一样，避免当前的不可能性结果的一种方式是放宽全域条件。如果将个体判断集合的可接受范围限制为满足特定的“凝聚性”条件，那么按命题进行多数投票将产生一致的集体判断。

最简单的凝聚性条件是单维对齐（List 2003b）。一个配置\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)是单维对齐的，如果集合\(N\)中的个体可以从左到右进行排序（例如，在某个认知或意识形态维度上），以至于，对于每一个命题\(p \in X\)，接受\(p\)的个体（即那些\(p \in J_i\)的个体）要么全部在拒绝\(p\)的个体（即那些\(p \not\in J_i\)的个体）的左侧，要么全部在其右侧。表8给出了一个例子。在这里，个体从左到右按照1-2-3-4-5的顺序进行排列，对于每一个命题，接受该命题的个体（对应表中的“True”条目）都在拒绝该命题的个体（对应的是“False”条目）的对立面。对于满足这一条件的任何配置，多数判断与给定左右排序中的中位个体的判断相符（如果\(n\)是奇数）（在表8中是个体3），或者与两个中间个体的判断集合的交集相符（如果\(n\)是偶数）。假设个体判断是一致的，那么多数判断则继承了它们的一致性。因此，在单维对齐的领域上，按命题进行多数投票将满足上面回顾过的判断聚合规则的其余条件（假设没有多数平局）。

表 8：单维对齐

与偏好聚合中的单峰性情况类似，几个较不严格的条件已经足够用于一致的多数判断。其中一个这样的条件（首次在Dietrich和List 2010a中引入，其中提供了一个调查）是Sen的三重值限制的泛化。一个配置\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)是值受限的，如果每一个最小不一致的子集\(Y \subseteq X\)都有一对元素\(p, q\)，使得没有任何个体\(i \in N\)有\(\{p, q\} \subseteq J_i\)。值受限阻止了\(X\)中的任何最小不一致子集成为多数接受的，因此确保了一致的多数判断。应用于偏好议程，值受限还原为Sen同名的条件。

5.4.2 放松集体理性

虽然人们普遍接受集体判断应当是一致的这一要求，但集体判断应当是完全的（在\(X\)中）这一要求更具争议性。支持完全性的观点可能是，除非一个给定的命题应当被集体评判，否则它不会被包括在\(X\)中。反对完全性的观点可能是，在某些情况下，对特定命题（或一组命题）的分歧程度如此之大，以至于形成关于它的集体观点是不合时宜或适得其反的。

违反集体完全性同时满足（全部或大多数）上面引入的其他条件的判断聚合规则包括：一致性规则，对于任何配置\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，\(J = \{p \in X : p \in J_i\) 对于所有 \(i \in N\}\)；超级多数规则，对于任何配置\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，\(J = \{p \in X : ｜\{i \in N : p \in J_i\}｜ \gt qn\}\) 对于适当的接受配额 \(q \in\) (0.5,1)；以及结论基础规则，其中一个子集\(Y \subseteq X\)的逻辑独立命题（及其否定）被指定为一组结论，而\(J = \{p \in Y : ｜\{i \in N : p \in J_i\}｜ \gt n/2\}\). 在表5的多人法院示例中，结论集简单地是\(Y = \{r, \neg r\}\)。

在一致的个体判断集的前提下，一致性规则保证了一致的集体判断集，因为几个一致的命题集的交集总是一致的。如果配额\(q\)被选择为至少\((k-1)/k\)，其中\(k\)是\(X\)中最大最小不一致子集的大小（Dietrich和List 2007a），那么超级多数规则也保证了一致的集体判断集。原因是组合的：任何\(k\)个相关大小的不同超级多数总是至少有一个共同的个体。因此，要使最小不一致的命题集（其大小最多为\(k)\)被超级多数接受，至少需要有一个个体接受该集中的所有命题，这与这个个体的一致性相矛盾。最后，结论基础规则通过构造产生一致的集体判断集，但总是让非结论处于未决状态。

Gärdenfors（2006）以及更普遍地是Dietrich和List（2008）以及Dokow和Holzman（2010b）已经显示，如果—在放宽完全性的同时—我们要求集体判断集是演绎封闭的（即，对于由\(J\)蕴含的任何\(p \in X\)，必须是\(p \in J)\)，我们再次面临一个不可能性结果。对于导致在第5.3节中审查的不可能性结果的相同议程，不存在满足普遍领域、集体一致性和演绎封闭、独立性、一致性保存和非寡头制的判断聚合规则。一个聚合规则被称为寡头制的，如果存在一个预先固定的子集\(M \subseteq N\)（“寡头们”），使得对于任何配置\(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，\(J = \{p \in X : p \in J_i\) 对于所有 \(i \in M\}\)。一致性规则和独裁制是具有\(M = N\) 和 \(M = \{i\}\) 的某些\(i \in N\)的特殊情况。

寡头聚合规则的弊端在于，它们要么陷入独裁，要么导致僵局，寡头之间最轻微的分歧都会导致犹豫不决（因为每个寡头对每个提议都有否决权）。

5.4.3 放松系统性/独立性

当我们放宽系统性/独立性时，各种各样的判断聚合规则变得可能。回想一下，系统性结合了独立性和中立性的要求。仅仅放宽中立性并不能让我们走得很远，因为对于许多议程来说，仅凭独立性就存在不可能性结果，正如第5.3节中所示。

一个被广泛讨论的违反独立性的聚合规则类别是基于前提的规则。在这里，一个子集 \(Y \subseteq X\) 的逻辑独立命题（及其否定）被指定为一组前提，就像在法庭示例中一样。对于任何配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，\(J = \{p \in X : J_Y\) 蕴含 \(p\}\)，其中 \(J_Y\) 是前提中被多数接受的命题，正式地说，就是 \(\{p \in Y : ｜\{i \in N : p \in J_i\}｜ \gt n/2\}\)。非正式地说，前提上进行多数投票，而所有其他命题上的集体判断由逻辑蕴含来决定。如果前提构成了整个议程的逻辑基础，基于前提的规则保证了一致和（除非有平局）完全的集体判断集。（有关更一般的定义，请参见 Dietrich 和 Mongin 2010年的工作。基于前提规则的程序性和认识性属性在诸如Pettit 2001; Chapman 2002; Bovens和Rabinowicz 2006; Dietrich 2006等文献中有讨论。）

一个泛化是由顺序优先规则给出的（List 2004b；有关进一步的泛化，请参见 Dietrich 2015）。在这里，对于每一个配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\)，\(X\) 中的命题以固定的优先级顺序被集体评判，例如，一个时间性或认识性的顺序。每一个命题 \(p \in X\) 上的集体判断是这样做出的。如果关于 \(p\) 的多数判断与之前命题上的集体判断一致，那么这个多数判断就是有效的；否则，\(p\) 上的集体判断由之前判断的蕴含来决定。根据构造，这保证了一致和（除非有平局）完全的集体判断。然而，它是路径依赖的：命题被考虑的顺序可能会影响结果，特别是当潜在的多数判断是不一致的时候。例如，当这个聚合规则应用于表5、6和7（但不是8）中的配置时，集体判断取决于命题被考虑的顺序。因此，顺序优先规则容易受到议程操纵的影响。在偏好聚合中的顺序成对多数投票（例如，Riker 1982）中也出现了类似的现象。

另一个显著的违反独立性的聚合规则类别是由基于距离的规则给出的（Pigozzi 2006年，基于Konieczny和Pino Pérez 2002年的工作；Miller和Osherson 2009年）。一个基于距离的规则是根据判断集之间的某种距离度量来定义的，例如汉明距离，对于任何两个判断集 \(J\)，\(J' \subseteq X\)， \(d(J, J') = ｜\{p \in X : \text{ not } [p \in J \Leftrightarrow p \in J']\}｜\)。每一个配置 \(\langle J_1, J_2 , \ldots ,J_n\rangle\) 被映射到一个一致和完全的判断集 \(J\)，该集最小化了与每个 \(J_i\) 的总和距离。（顺便说一下：应用于偏好议程时，基于汉明距离的规则变得等同于早先简要提到过的“Kemeny规则”）。基于距离的规则可以解释为捕捉到确定妥协判断的想法。与基于前提或顺序优先的规则不同，它们不需要在前提和结论或命题之间的任何其他优先级顺序中进行区分。

就像在偏好聚合中一样，放宽独立性的代价是失去了策略证明性（strategy-proofness）。独立性和单调性的结合是通过战略性投票进行判断聚合规则的非操纵性（non-manipulability）所必需和充分的（Dietrich和List 2007c；有关相关结果，请参见Nehring和Puppe 2002 [其他互联网资源]）。因此，我们通常不能在不放宽普遍领域、集体合理性、一致性保留或非独裁性的情况下实现策略证明性。在实践中，我们因此必须寻找减少战略性操纵威胁的方法。

5.5 概率意见汇集

放弃判断聚合的不可能性结果的一个独特且超越框架的方法是放弃二进制（“是”/“否”，“真”/“假”）格式的判断，并假设它们采取主观概率或信念的形式。由此产生的聚合问题是概率性意见汇总（Stone 1961；Aczél 和 Wagner 1980；Lehrer 和 Wagner 1981；McConway 1981；Genest 和 Zidek 1986；以及Mongin 1995）。其中一些关键的作品早于当代关于“二进制”判断聚合的文献，但这个问题近来受到了重新关注。

在这个概率性而非二进制的设置中，每个个体\(i \in N\)在给定的议程\(X\)上有一个意见函数\(Pr_i\)（这里的议程通常是一个命题的代数），其中，对于每个\(p \in X\)，\(Pr_i(p)\)是个体\(i\)赋予\(p\)的主观概率或信念程度（一个在区间[0,1]内的实数）。通常假定函数\(Pr_i\)是概率上一致的。[^15] 目的是找到一个意见汇总规则，同样记作\(F\)，它将每个合法的个体意见函数配置\(\langle Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n\rangle\)映射到一个集体意见函数\(Pr\)，这个函数理想上也应该是概率上一致的。对于每个\(p \in X\), \(Pr(p)\)被解释为集体赋予\(p\)的主观概率或信念程度。在关于同伴不同意的文献中可以找到结构上类似的聚合问题，其中一个认知主体试图调和几个可能冲突的命题的概率分配——典型地，这是主体自己的概率分配和一些认知同伴的分配——以得到一个全面考虑的概率分配（关于这一点的概述，参见例如Christensen和Lackey 2013)。

一个经典结果表明，在这个概率框架中，类似于二元情况下导致不可能性的条件现在可以非三元满足。这些条件是：

普遍域：\(F\)的定义域是所有在\(X\)上的概率一致性意见函数的逻辑可能的配置集合。

集体一致性：对于\(F\)定义域中的任何配置\(\langle Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n\rangle\)，在\(X\)上集体分配的意见函数\(P_r\)是概率上一致的。

零保留：对于任何配置\(\langle Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n\rangle\)和命题\(p \in X\)，如果对于所有\(i \in N\)都有\(Pr_i(p) = 0\)，那么集体分配的概率是\(Pr(p) = 0\)。

独立性：对于\(F\)定义域中的任何两个配置\(\langle Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n\rangle\)和\(\langle Pr^*_1, Pr^*_2, \ldots ,Pr^*_n\rangle\)以及任何\(p \in X\)，如果对于所有\(i \in N\)都有\(Pr_i(p) = Pr^*_i(p)\)，那么\(Pr(p) = Pr^*(p)\)。

以下条件成立：

定理 (Aczél 和 Wagner 1980; McConway 1981)：假设\(X\)是一个代数，包含超过两个非等价的偶然性命题-否定对。那么，一个概率性意见汇总规则满足普遍域、集体一致性、零保留和独立性，当且仅当它是一个线性汇总规则。

这样的规则定义如下。设\(w_1, w_2 , \ldots ,w_n \ge 0\)是分配给\(n\)个个体的权重，其中\(w_{1 }+ w_{2 }+ \ldots_{ }+ w_n = 1\)。那么，相应的线性汇总规则将每个概率一致的意见函数的配置\(\langle Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n\rangle\)分配给集体意见函数\(Pr = w_1 Pr_1 + w_2 Pr_2 + \ldots + w_n Pr_n\)。因此，分配给每个命题\(p \in X\)的集体概率是\(p\)的个体概率的加权线性平均值。线性汇总规则的范围从完全平等的权重（因此满足匿名性）到集中在一个个体上的所有权重（即，独裁者）。值得注意的一课是，在二元判断汇总的情况下，基本上与刻画独裁汇总规则类的相同条件现在刻画了线性汇总规则类。

乍一看，你可能会认为概率性的意见汇总不受任何令人烦恼的不可能性结果的影响。然而，线性汇总，以及满足上述条件的任何意见汇总规则都有一些缺陷。首先是这样的。假设我们要求，只要所有个体都认为两个命题\(p\)和\(q\)在概率上是独立的（也许是基于第三个命题\(r\)），那么这种概率独立的判断应该在集体概率分配中得以保留。要求这一点的理由是，概率独立的判断可能会编码关于哪些命题（或由它们描述的事件）在因果上与其他命题有关或无关的见解。然而，不幸的是，线性汇总（除非是其退化的独裁形式）通常不能保留一致的条件独立判断（Genest 和 Wagner 1987），所以如果我们将这个保留要求加入到我们之前的条件列表中，并加上非独裁，我们又会得到一个不可能的结果。

第二个缺陷是这样的。假设\(N\)中的个体获得了一些新的信息，导致他们修订了对\(X\)中命题的看法，修订的形式是贝叶斯条件化或它的某种泛化。我们有理由要求，如果我们聚合了他们修订后的概率分配，其结果将与我们先聚合了修订前的概率分配，然后根据所学到的信息修订了所得到的集体概率分配的结果相同。更正式地表达，假设\(L\)是学到的信息，假设\(Pr_1 ｜L, Pr_2 ｜L, \ldots ,Pr_n｜L\)是将\(n\)个个体的意见函数基于新信息进行条件化的结果。那么，在假设所涉及的所有配置都在我们的意见汇总规则的域内的情况下，我们要求汇总（通过\(F\)）和修订（通过｜）是可交换的，即：

\[F(Pr_1 ｜L, Pr_2 ｜L,\ldots, Pr_n｜L) = F(Pr_1, Pr_2,\ldots, Pr_n)｜L.\]

再次，线性汇总（除非是其退化的独裁形式）通常不满足这个要求（通常被称为“外部贝叶斯性”），所以如果我们将其添加到我们的条件列表中，并加上非独裁，我们也会得到一个不可能的结果（Madansky 1964）。后续的研究表明，如果我们通过几何平均而不是线性平均来聚合概率，我们可以使聚合和修订交换（Genest 1984; Genest等人 1986），尽管我们必须放弃对意见汇总规则的独立性要求。这一发现在近期的研究中得到了关注，并引发了一个虽然小但不断增长的关于贝叶斯集团信仰的哲学文献（例如，Dietrich 2010, 2019; Russell, Hawthorne, 和 Buchak 2015; 以及 Baccelli 和 Stewart 2020）。这里的关键问题是：在什么条件下，一个通过聚合其成员的意见来给出其意见的团体可以构成一个理性的贝叶斯代理？

其他的研究考虑了具有一般（即非代数）议程的概率性意见汇总（Dietrich 和 List 2017）以及不精确的概率（Stewart 和 Ojea Quintana 2018），以及更一般的态度汇总形式，它们包括二元判断汇总、概率/信度汇总以及Arrovian偏好汇总作为特例（例如，Dietrich 和 List 2010b; Dokow 和 Holzman 2010c）。

6. 其他主题

正如你所看到的，社会选择理论是一个广阔的领域。本条目未涉及或仅简短提及的领域包括：在风险和不确定性下的偏好和福利汇总（当需要排序的前景有风险或不确定的结果时，如何将个体偏好或个体福利聚合为社会偏好，这些结果最多可以分配概率；例如，Mongin 和 Pivato 2016）；公平分配的理论（如何在多个申请人之间分配一个或多个可分或不可分的商品，如蛋糕或房屋；例如，Brams 和 Taylor 1996 以及 Moulin 2004）；匹配理论（如何将大学名额分配给申请人或将捐赠的器官分配给患者；例如，Gale 和 Shapley 1963；Roth 和 Sotomayor 1992；Klaus, Malove 和 Rossi 2016）；行为社会选择理论（在各种汇总规则下分析投票行为的实证证据；例如，Regenwetter 等人，2006）；实证社会选择理论（分析关于分配公正的直觉的调查和实验；例如，Gaertner 和 Schokkaert 2012）；拓扑社会选择理论（使用数学拓扑的工具研究社会选择理论问题；例如，Chichilnisky 1980；Heal 1997）；计算社会选择理论（分析汇总规则的计算属性，包括其计算复杂性；例如，Bartholdi, Tovey 和 Trick 1989；Brandt, Conitzer 和 Endriss 2013）；非人类动物的集体决策研究（研究从社会昆虫到灵长类动物的各种动物种群的团体决策；例如，Conradt 和 Roper 2003）；以及超出 Condorcet 的陪审团定理和判断汇总的社会认识论的应用（例如，对团体信念状态及其与个体信念状态的关系的分析；例如，Goldman 2004, 2010；Lackey 2016）。